Kezdőlap


Feladat:	A.382	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Kitűző(k):	Cseh versenyfeladat
Füzet:	2005/október, 420 - 421. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebra - Aritmetika, Halmazelmélet, Nehéz feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Adottak a diszjunkt $S$ és $T$ halmazok, valamint az $S$ elemein a $*$ , a $T$ elemein a $\circ$ kétváltozós művelet (tehát $a, b \in S$ , illetve $c, d \in T$ esetén $a * b \in S$ és $c \circ d \in T$ ). Mindkét művelet asszociatív; más szóval: $(S, *)$ és $(T, \circ)$ félcsoportok.
Azt is tudjuk, hogy tetszőleges $t \in T$ -hez léteznek olyan $u, v \in T$ elemek, amelyekre $u \circ t = t \circ v = t$ .
Legyen $f : S \to T$ egy tetszőleges leképezés. Definiáljuk az $S \cup T$ halmazon a $\otimes$ műveletet a következőképpen:

\begin{matrix} a \otimes b = {\begin{matrix} a * b & ha a, b \in S, \\ f (a) \circ b & ha a \in S, b \in T, \\ a \circ f (b) & ha a \in T, b \in S, \\ a \circ b & ha a, b \in T . \end{matrix} \end{matrix}

Mutassuk meg, hogy a

\otimes

művelet akkor és csak akkor asszociatív, ha

f

homomorfizmus, azaz tetszőleges

a, b \in S

esetén

f (a * b) = f (a) \circ f (b)