Kezdőlap


Feladat:	2005. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 4. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Kitűző(k):	Tasnádi Tamás , Vankó Péter
Füzet:	2005/november, 496 - 502. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elektromos mérés, Hősugárzás, Nemzetközi Fizika Diákolimpia

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A mérési feladat¹

1900-ban Planck felvetett egy új hipotézist, miszerint a fény kibocsátása

h ν

nagyságú energiakvantumokban történik. 1905-ben Einstein kiegészítette ezt a feltevést: a fény a kibocsátás után is energiakvantumok formájában terjed. A fény kvantumait később fotonnak nevezték. A közönséges fény hullámfrontjai hatalmas mennyiségű fotonból állnak. A fotonok el vannak rejtve a hullámban, ugyanúgy, mint az atomok egy darab anyagban, de a

h

Planck-állandó felfedi létüket. Ennek a mérésnek a célja a Planck-állandó meghatározása.
Egy test nem csak kibocsátani tud fényt, hanem el is nyelheti a külvilágból érkező sugárzást. Fekete testnek nevezzük azt a testet, amely minden rá eső sugárzást elnyel, minden hullámhosszon. Ugyanakkor a fekete test tökéletes sugárzó is. A fekete test tehát minden elektromágneses sugárzást elnyel, nem ver vissza semmit, és minden hullámhosszon sugároz. A valódi testek nem teljesen feketék: a test által kisugárzott energiának és a vele azonos hőmérsékletű fekete test által kisugárzott energiának az aránya, az

ε

emissziós állandó, amely általában függ a

λ

hullámhossztól.
Planck megállapította, hogy egy

T

abszolút hőmérsékletű test által kisugárzott

λ

hullámhosszúságú elektromágneses sugárzás teljesítménye

\begin{matrix} u_{λ} = ε \frac{c_{1}}{λ^{5} (e^{c_{2} / λ T} - 1)} \end{matrix}

(1)

alakban adható meg, ahol

c_{1}

és

c_{2}

állandók. Ebben a feladatban

c_{2}

-t kell kísérletileg meghatároznod, amely arányos

h

-val.
Kis

λ

hullámhosszak esetében, az 1. ábrán a maximális értéktől messze balra, az (1)-es képlet nevezőjéből el lehet hagyni a

- 1

-es tagot, és így a képlet egyszerűsödik:

\begin{matrix} u_{λ} = ε \frac{c_{1}}{λ^{5} e^{c_{2} / λ T}} . \end{matrix}

(2)

1. ábra

A kísérleti feladat legfontosabb elemeit a 2. ábra mutatja vázlatosan.

2. ábra

$•$	A fényt kibocsátó test az $A$ izzólámpa volfrám szála, amely széles $λ$ hullámhossztartományban sugároz, és sugárzó teljesítményét változtatni lehet.

$•$	A $B$ kémcsőben folyékony optikai szűrő található, amely csak a fény látható spektrumának egy $λ$ $_{0}$ körüli keskeny sávját engedi át (lásd a 3. ábrát).

3. ábra

$•$	Végül az átengedett sugárzás a $C$ fotoellenállásra esik.

A fotoellenállás

R

ellenállása függ a megvilágítás erősségétől (

E)

, amely viszont arányos az izzószál teljesítménysűrűségével:

\begin{matrix} \begin{matrix} E \propto u_{λ_{0}} \\ R \propto E^{- γ} \end{matrix}} \Rightarrow R \propto u_{λ_{0}}^{- γ}, \end{matrix}

(3)

ahol a fotoellenállásra jellemző

γ

mértékegység nélküli állandót a mérés során kell meghatározni. Végül a fotoellenállás

R

ellenállása és az izzószál

T

hőmérséklete között az

\begin{matrix} R = c_{3} e^{c_{2} γ / λ_{0} T} \end{matrix}

(4)

összefüggés adódik (

c_{3}

ismeretlen állandó). Ha

R

értékét

T

függvényében méred, megkaphatod

c_{2}

-t ‐ ez a kísérleti feladat fő célja.
A berendezés részei és az egyes részek összeállításának vázlata a 4. ábrán látható.

4. ábra. 1. Alaplemez. A rajta lévő korongra van szerelve a fotoellenállás tartója, a kémcsőtartó és az izzólámpa (12 V; 0,1 A) tartója. 2. Fényvédő borítás. 3. 10-szer körbetekerhető potenciométer, teljes ellenállása 1 k

Ω

. 4. 12 V-os telep. 5. Fekete és piros drótok mindkét végén banándugóval, az alaplemez és a potenciométer összekötéséhez. 6. Fekete és piros drótok, egyik végükön banándugóval, másik végükön saruval, amivel a telephez lehet csatlakozni. 7. Ohmmérőként használt multiméter. 8. Voltmérőként használt multiméter. 9. Ampermérőként használt multiméter. 10. Kémcső a folyékony szűrővel. 11. Kémcsőtartó. 12. Szürke szűrő. 13. Vonalzó

1. feladat. Rajzold le a méréshez használt teljes áramkört!

Az izzószál hőmérsékletének mérése
Egy vezető szál

R_{B}

ellenállása különböző okokból függ a hőmérséklettől:

•

A fém fajlagos ellenállása függ a hőmérséklettől. Kísérleti adatok alapján volfrám esetében ez a hőmérsékletfüggés 300 K és 3655 K között SI egységekben a következő módon írható le:

\begin{matrix} T = 3, 05 \cdot 10^{8} ϱ^{0, 83} . \end{matrix}

(5)

•

A hőtágulás miatt megváltozik a szál hossza és keresztmetszete, azonban ez a hatás ebben a kísérletben elhanyagolható, így:

\begin{matrix} T = a R_{B}^{0, 83} . \end{matrix}

(6)

$•$	$T$ méréséhez meg kell határozni $a$ -t. Ezt úgy lehet megtenni, hogy megméred $R_{B,0}$ -t a $T_{0}$ szobahőmérsékleten.

2. feladat.

a)

A multiméter segítségével mérd meg a

T_{0}

szobahőmérsékletet!

b)

Az izzószál

T_{0}

szobahőmérsékleten mért

R_{B,0}

ellenállását ellenállásmérővel nem lehet jól mérni, mert az ellenállásmérő egy kicsiny, ismeretlen áramot bocsát az izzóra, amely ennek hatására felmelegszik. Ehelyett

R_{B,0}

meghatározásához vedd fel az izzó

I (U)

karakterisztikáját! Határozd meg minden egyes

U

és

I

értékpár esetében

R_{B}

értékét, és ábrázold grafikusan

R_{B}

-t

I

függvényében!

c)

A grafikonon válaszd ki a megfelelő tartományt, amire extrapolációra alkalmas egyenest illeszthetsz. Ennek az egyenesnek és a függőleges tengelynek a metszéspontja megadja

R_{B,0}

értékét.

d)

Számold ki

a

és

Δ a

számszerű értékét a

(6)

egyenlet felhasználásával!

Az optikai szűrő tulajdonságai
A kémcsőben lévő folyékony optikai szűrő rézszulfát só és narancs anilin festék vizes oldatának megfelelő keveréke. A só szerepe az izzó által kibocsátott infravörös fény elnyelése.

3. feladat. Határozd meg

λ_{0}

és

Δ λ

értékét a mellékelt ábra alapján!

A fotoellenállás tulajdonságai
A fotoellenállás anyaga sötétben nem vezeti az áramot. Megvilágítás hatására töltéshordozók aktiválódnak, és az ellenálláson áram folyhat keresztül. A fotoellen-állás ellenállása a következő képlettel fejezhető ki:

\begin{matrix} R = b E^{- γ}, \end{matrix}

(7)

ahol

b

a fotoellenállás öszzetételétől és méreteitől függő állandó,

γ

pedig egy mértékegység nélküli paraméter. Elméleti megfontolások alapján, egy ideális fotoellenállásra

γ = 1

, azonban, sok különböző hatás eredményeképp, valódi eszközök esetében

γ < 1

, így szükség van

γ

meghatározására.
Ezt úgy lehet megvalósítani, hogy először egy meghatározott

E

megvilágításához tartozó

R

értéket kell megmérni (5. ábra), majd a lámpa és a kémcső közé egy ismert fényáteresztőképességű szürke

F

szűrőt kell helyezni (6. ábra). A szűrő behelyezése után a megvilágítás

E' = 0, 512 E

lesz. Az ehhez a megvilágításhoz tarozó

R'

ellenállás megmérése után:

\begin{matrix} R = b E^{- γ}; R' = b {(0, 512 E)}^{- γ} . \end{matrix}

(8)

Ebből

\begin{matrix} ln \frac{R}{R'} = γ ln 0, 512. \end{matrix}

(9)

5. ábra

6. ábra

4. feladat.

a)

Győződj meg róla, hogy a fotoellenállás ennek a feladatnak az elkezdése előtt legalább

10

percig teljes sötétben volt! Csatlakoztasd az elemet a potenciométerhez, és a gomb finom csavarásával lassan növeld a lámpa feszültségét! Olvass le összetartozó feszültség

(U)

és áram

(I)

értékeket a 9,50 V és 11,50 V közötti feszültségtartományban, és olvasd le a fotoellenállás

R

ellenállás értékeit is!

b)

Amikor elérted a legkisebb

R

ellenállást, nyisd ki a védőtetőt, tedd be a szürke szűrőt a 7. ábrának megfelelően, fedd le újra a védőtetővel és olvasd le a fotoellenállás új

R'

ellenállását! Ezeknek az adatoknak a felhasználásával a

(9)

egyenlet alapján határozd meg

γ

és

Δ γ

értékét!

7. ábra

c)

Módosítsd a

(4)

egyenletet úgy, hogy

ln R

R_{B}^{- 0, 83}

lineáris függvénye legyen!

d)

A mérési adatokból készíts ennek az egyenletnek az ábrázolásához táblázatot!

e)

Készítsd el a grafikont, és ‐ felhasználva, hogy

c_{2} = h c / k

‐ számítsd ki

h

és

Δ h

értékét!

(Fénysebesség:

c = 2, 998 \cdot 10^{8} m/s

; Boltzmann-állandó:

k = 1, 381 \cdot 10^{- 23} J/K

A mérési feladat vázlatos megoldása
A mérés célja a Planck-állandó meghatározása egy izzólámpa fényének vizsgálata alapján. Sajnos a feladat szövege a legapróbb részletekig lebontva megadta a versenyzők által elvégzendő feladatokat. Egyéni ötletre, kreativitásra nem nagyon volt szükség. A javításnál viszont az elvárásoktól való legkisebb eltérést (pl. eggyel több vagy kevesebb értékes jegy kiírása, a hiba kicsit eltérő becslése) pontlevonással büntettek.
Az 1. feladat a mérési összeállítás kapcsolási rajzának elkészítése volt:

A 2. feladat az izzószál hőmérsékletének mérése. A szál

T

hőmérséklete és

R_{B}

ellenállása között a fém fajlagos ellenállásának hőmérsékletfüggése miatt a

T = a R_{B}^{0, 83}

összefüggés áll fenn. Az

a

mennyiség meghatározásához meg kell mérni a szobahőmérsékletet (

T_{0})

és az izzó ellenállását szobahőmérsékleten (

R_{B,0}

T_{0}

közvetlenül mérhető multiméter segítségével,

R_{B,0}

értékét pedig extrapolációval lehet meghatározni: Az izzólámpa

I (U)

karakterisztikájának felvétele (összetartozó

I

‐

U

adatpárok megmérése) után az izzó

R_{B}

ellenállását

I

függvényében ábrázolva megfigyelhető, hogy kis áramoknál az ellenállás közel lineárisan változik az áramerősséggel. Ezekre a pontokra egyenest illesztve az egyenes és a függőleges tengely metszéspontja megadja

R_{B,0}

értékét.

T_{0}

és

R_{B,0}

ismeretében

a

meghatározható.
Az egyenesillesztéshez a rendezők külön, statisztikus számolásokhoz is alkalmas számológépet adtak. A grafikus illesztést nem fogadták el. (Ha

T

-t K-ben és

R_{B}

-t

Ω

-ban mérjük,

a \approx 40

adódott.)
A 3. feladat nem igazi mérési feladat: a szűrő által átengedett fény hullámhosszát és ennek hibáját egy megadott grafikonból ‐ annak maximumhelyéből és félértékszélességéből ‐ kellett kiolvasni:

λ_{0} = 590

nm,

Δ λ = 28

nm.
A 4. feladat a fotoellenállás vizsgálata és

h

értékének meghatározása. A fotoellenállás ellenállása az

E

megvilágítás függvényében az

R = b E^{- γ}

képlet szerint változik. A

γ

állandó úgy határozható meg, hogy a megvilágítást egy szürke szűrővel

E' = 0, 512 E

nagyságúra csökkentjük. Ekkor

\begin{matrix} γ = \frac{ln (R / R')}{ln 0, 512} \end{matrix}

két ellenállásmérésből megkapható (

γ = 0, 7

).
A feladat szövegében megadták a Planck-féle sugárzási törvényből és a fotoellenállást leíró fenti összefüggésből levezetett

R = c_{3} e^{c_{2} γ / λ_{0} T}

képletet, amely a fotoellenállás ellenállását adja meg az izzószál hőmérsékletének függvényében. A feladat a képletben szereplő

c_{2} = \frac{h c}{k}

állandó meghatározása ‐ amiből már a

c

fénysebesség és a

k

Boltzmann-állandó ismeretében a

h

Planck-állandó meghatározható.
Felhasználva, hogy

T = a R_{B}^{0, 83}

, és a képletet linearizálva az

\begin{matrix} ln R = ln c_{3} + \frac{c_{2} γ}{λ_{0} a} R_{B}^{- 0,83} \end{matrix}

összefüggést kapjuk. Ha

ln R

-t

R_{B}^{- 0, 83}

függvényében ábrázoljuk (ahol

R_{B} = \frac{U}{I}

), az egyenes meredeksége

\frac{c_{2} γ}{λ_{0} a}

, amiből

γ

λ_{0}

és

a

ismeretében

c_{2}

(abból pedig

h

) kiszámolható.
Ehhez összetartozó

U

I

és

R

értékeket kell mérni,

R_{B} = \frac{U}{I}

R_{B}^{- 0, 83}

és

ln R

értékét ki kell számolni, majd az

ln R - R_{B}^{- 0, 83}

grafikon pontjaira egyenest kell illeszteni. A hivatalos megoldás szerint

h

értékét kb. 5%-os hibával lehetett megkapni.
A feladat nehézségét ‐ a túl részletes útmutatónak köszönhetően ‐ elsősorban a sok adat leolvasása, táblázatba foglalása, grafikus ábrázolása, az egyenesillesztések és a hibák kiszámolása jelentette.

¹A feladat szövegét kicsit lerövidítve, néhány ‐ csak a versenyen fontos ‐ technikai részlet elhagyásával közöljük.
A mérés elvégzésére 5 óra állt rendelkezésre.