Feladat: 2005. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 3. feladata Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 2005/október, 430 - 432. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Anyaghullámok, Neutron, Egyenletesen változó mozgás (Tömegpont mozgásegyenelete), Nemzetközi Fizika Diákolimpia
Hivatkozás(ok):Feladatok megoldásai: 2005/november: 2005. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 3. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Neutronok gravitációs mezőben

 

A megszokott klasszikus világban a földön rugalmasan pattogó labda a vég nélküli mozgás ideális példája. A labda csapdában van, nem mehet a földfelszín alá és a felső holtpont fölé. Kötött állapotban marad, mindig visszafordul és fölpattan. Csak a közegellenállás és az ütközés rugalmatlansága állíthatja meg, amitől viszont a következőkben eltekintünk.
Fizikusok egy csoportja a grenoble-i Laue‐Langevin Intézetben 2002-ben megjelentetett egy cikket1 a földi gravitációs mezőben végzett neutronejtési kísérletről. A kísérletben a jobbra mozgó neutronok szabadon estek egy vízszintes, neutrontükörként viselkedő kristályfelületre, ahonnan rugalmasan visszapattantak a kezdeti magasságukig, és ez ismétlődött ...
A kísérlet vázlatát az F-1. ábra mutatja. A rendszer egy W bemenőnyílásból, egy M neutrontükörből (z=0 magasságban), egy L hosszúságú A neutronelnyelő falból (z=H magasságban) és egy D neutrondetektorból áll. A neutronsugár állandó vx vízszintes sebességgel repül az A és M közötti üregben W-től D-ig. Mindegyik neutron, amely eléri az A felületet, elnyelődik, azaz eltűnik a kísérletből. Azok, amelyek elérik az M felületet, rugalmasan visszaverődnek. A D detektor azon neutronok N(H) számát méri, amelyek egységnyi idő alatt elérik a detektort.
 

 
F-1. ábra
 

Az üregbe belépő neutronok sebességének vz függőleges komponense mind pozitív, mind negatív irányban széles tartományban változik. Az üregbe belépő neutronok a tükör és az elnyelő felület között repülnek.
1. Határozd meg klasszikusan a z magasságban belépő neutronok vz(z) függőleges sebességének azt a tartományát, amelyben a neutron eléri a detektort! Tedd fel, hogy L sokkal hosszabb, mint a feladatban bármely más hosszúság!
2. Számold ki klasszikusan az üreg Lc minimális hosszát, amely biztosítja, hogy az előző pontban szereplő sebességtartományon kívüli neutronok minden z esetén elnyelődjenek A-ban! Legyen vx=10m  s-1 és H=50μm.
Az N(H) átmenő neutronfluxust mérjük D-ben. Azt várjuk, hogy ez a mennyiség monoton növekszik H-val.
3. Határozd meg klasszikusan a detektort időegységenként elérő összes neutron Nc(H) számát, feltéve, hogy a belépő neutronnyalábban minden vz sebesség és minden z magasság egyformán valószínű. A választ az üregbe egységnyi idő alatt, egységnyi vz függőleges sebességtartományban és egységnyi z magasságtartományban belépő neutronok számát megadó ϱ állandóval fejezd ki!
A grenoble-i csoport által kapott eredmények nem egyeztek a fenti klasszikus jóslattal, helyette N(H) kísérleti értékei hirtelen ugrásokat mutattak, amikor H bizonyos kritikus értékeket (H1,H2,...) átlépett. Ezt mutatja vázlatosan az F-2. ábra. Más szavakkal, a kísérlet azt mutatta, hogy a neutron függőleges pattogó mozgása kvantált. Hasonlóan ahhoz, ahogy Bohr és Sommerfeld a hidrogénatom energiaszintjeit megkapta, itt is úgy fogalmazhatunk, hogy ,,az S hatás a h Planck-állandó egész számszorosa''. Ebben a feladatban S-et az
S=∫pz(z)dz=nh,n=1,2,3,...
összefüggés határozza meg (Bohr‐Sommerfeld kvantumfeltétel), ahol pz az impulzus függőleges komponense, és az integrált a pattogás teljes periódusára kell elvégezni. Csak olyan neutronok haladhatnak az üregben, melyek a feltételt kielégítő S-sel rendelkeznek.
 

 
F-2. ábra
 

4. Számold ki azokat a Hn holtpontmagasságokat és En energiaszinteket (ahol En a függőleges mozgáshoz tartozó mechanikai energia), amelyeket a Bohr‐Sommerfeld kvantálás megenged! Add meg H1 számszerű értékét μm-ben és E1 értékét eV-ban!
A kvantálással a hosszú üregen keresztülrepülő neutronok belépéskor egyenletes eloszlása megváltozik, és ezért detektáltak lépcsőszerű eloszlást (lásd az F-2. ábrát.) A továbbiakban az egyszerűség kedvéért egy H<H2 magasságú, hosszú üreget vizsgálunk. Klasszikusan minden, az 1. kérdésben meghatározott energiatartományban levő neutron keresztülmehet az üregen, de a kvantummechanika szerint csak azok, melyek energiája E1. Az energiára és időre vonatkozó Heisenberg-féle határozatlansági reláció szerint ez az energiaérték meghatároz egy minimális repülési időt.
5. Becsüld meg a minimális tq repülési időt és az üregnek ehhez tartozó minimális Lq hosszát, amely ahhoz szükséges, hogy meg tudjuk figyelni a neutronok D-ben mért számában az első éles növekedést. Legyen vx=10m  s-1.
Adatok:    Planck-állandóh=6,63⋅10-34 Js,  fénysebesség vákuumbanc=3,00⋅108ms-1,  elemi töltése=1,60⋅10-19 C,  neutron tömegeM=1,67⋅10-27 kg,  nehézségi gyorsulásg=9,81ms-2.  Ha szükséges, használd:∫(1-x)1/2dx=-2(1-x)3/23.  
1V. V. Nesvizhevsky et al., ,,Quantum states of neutrons in the Earth's gravitational field.'' Nature, 415 (2002) 297., Phys Rev. D 67, 102002 (2003).