Kezdőlap


Feladat:	2005. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 2. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2005/október, 427 - 430. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb időben változó mágneses mező, Körvezető mágneses tere, Egyéb elektromos mérőműszerek, Nemzetközi Fizika Diákolimpia
Hivatkozás(ok):	Feladatok megoldásai: 2005/november: 2005. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Elektromos mennyiségek abszolút mérése

A XIX. században a technológiai és tudományos fejlődés szükségessé tette, hogy az elektromos mennyiségeknek általánosan elfogadott etalonja legyen. Úgy gondolták, hogy az új abszolút egységek csak a távolság, a tömeg és az idő etalonjaira épülhetnek, melyeket a francia forradalom után hoztak létre. 1861-től 1912-ig intenzív kísérleti munka folyt ezeknek az egységeknek a megalapozására. Itt három tanulmányt mutatunk be.

Az ohm meghatározása (Kelvin). Egy

N

menetes,

a

sugarú,

R

ellenállású kör alakú zárt tekercs állandó

ω

szögsebességgel forog a függőleges átmérője körül

{\vec{B}}_{0} = B_{0} \vec{i}

vízszintes mágneses térben.
1. Határozd meg a tekercsben indukálódó

ε

elektromotoros erőt, és a tekercs forgatásához szükséges

〈 P 〉

átlagos teljesítményt¹! A tekercs önindukcióját hanyagold el!
A tekercs középpontjába egy kicsiny mágnestűt helyezünk az F-1. ábrán látható módon. A mágnestű lassan szabadon elfordulhat a

Z

tengely körüli vízszintes síkban, de a tekercs gyors forgását már nem tudja követni.

F-1. ábra

2. Az állandósult állapot elérése után a mágnestű kis

θ

szöget zár be a

{\vec{B}}_{0}

vektorral. Fejezd ki a tekercs

R

ellenállását ennek a szögnek és a rendszer többi paraméterének függvényében!
Lord Kelvin ezt a módszert használta az 1860-as években az ohm abszolút egységének rögzítéséhez. A forgó tekercs kiküszöbölésére Lorenz egy alternatív módszert javasolt, melyet Lord Rayleigh és Eleanor Sidgwick használt, és amit a következő részben megvizsgálunk.

Az ohm meghatározása (Rayleigh, Sidgwick). A kísérleti elrendezés az F-2. ábrán látható. Az elrendezés két egyforma,

b

sugarú fémkorongból áll (

D

és

D'

), melyek a közös

S S'

fémtengelyre vannak erősítve. A tengelyt egy motor

ω

szögsebességgel forgatja. A szögsebességet

R

méréséhez változtatni lehet. A korongokat két egyforma,

a

sugarú,

N

menetes tekercs veszi körül (

C

és

C'

). A tekercsek úgy vannak sorbakötve, hogy az

I

áram a két tekercsen ellentétes irányban folyik keresztül. Az egész berendezés az

R

ellenállás mérésére szolgál.

F-2. ábra

3. Tegyük fel, hogy a

C

és

C'

tekercseken átfolyó

I

áram homogén mágneses teret hoz létre a D és D' korongok körül, melynek

B

nagysága megegyezik a tekercsek középpontjában kialakuló tér nagyságával. Számítsd ki² a korongok peremén lévő 1-es és 4-es pont közt keletkező

ε

indukált elektromotoros erőt! Kihasználhatod, hogy a tekercsek közti távolság sokkal nagyobb a tekercsek sugaránál, és

a ≫ b

.
A korongokat az 1-es és a 4-es pontban érintkező kefék kapcsolják a hálózatba. A

G

galvanométer jelzi az 1‐2‐3‐4 áramkörben folyó áramot.
4. Az

R

ellenállást akkor mérjük, amikor

G

nullát mutat. Fejezd ki

R

értékét a rendszer fizikai paramétereivel!

Az amper meghatározása. Ha két vezetőn áram folyik át, és megmérjük a köztük fellépő erőt, akkor ez az áram abszolút meghatározását teszi lehetővé. A Lord Kelvin által 1882-ben javasolt ,,árammérleg'' ezt az elvet használja. Az árammérleg hat egyforma,

a

sugarú, egymenetes, sorbakapcsolt tekercset tartalmaz (

C_{1} ... C_{6}

). A rögzített

C_{1}

C_{3}

C_{4}

és

C_{6}

tekercsek az F-3. ábrán látható módon két, egymástól

2 h

távolságra lévő vízszintes síkban fekszenek. A

C_{2}

és

C_{5}

tekercsek

d

hosszúságú mérlegkarokra vannak akasztva, és a mérleg egyensúlyi helyzetében egyforma messze vannak a két síktól.

F-3. ábra

I

áram úgy folyik át a tekercseken, hogy a

C_{2}

tekercsre felfelé, a

C_{5}

tekercsre lefelé mutató mágneses erő hat. Az

O

forgástengelytől

x

távolságra elhelyezett

m

tömeg szolgál arra, hogy a fent leírt egyensúlyi állapotot helyreállítsa abban az esetben, amikor a tekercseken áram folyik át.
5. Fejezd ki a

C_{2}

tekercsre ható, a

C_{1}

tekerccsel való mágneses kölcsönhatásból származó

F

erőt! Az egyszerűség kedvéért tételezd fel, hogy az egységnyi hosszra ható erő megegyezik a két végtelen hosszú párhuzamos vezető közt egységnyi hosszon fellépő erővel!
6. Az

I

áramot a mérleg egyensúlyi helyzetében mérjük. Fejezd ki

I

értékét a rendszer fizikai paramétereinek függvényében! A berendezés méretei olyanok, hogy a bal oldalon és a jobb oldalon lévő tekercsek közti kölcsönhatás elhanyagolható.
Legyen

M

a mérleg tömege (

m

és a ráakasztott részek nélkül), G a tömegközéppontja, az

\bar{O G}

távolság pedig

l

!
7. A mérleg egyensúlyi állapota stabilis, ha a

C_{2}

tekercs magassága kicsiny

δ z

, a

C_{5}

tekercsé pedig

- δ z

értékkel megváltozik. Határozd meg³ azt a

δ z_{{max}_{}^{}}

maximális értéket, ahol a mérleg az elengedés után még az egyensúlyi helyzet irányába kezd el mozogni!

¹Egy

X (t)

periodikus mennyiség

〈 X 〉

átlagértéke

〈 X 〉 = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} X (t) d t

, ahol

T

a periódusidő.

²Szükséged lehet a következő integrálokra:

\begin{matrix} \int_{0}^{2 π} sin x d x = \int_{0}^{2 π} cos x d x = \int_{0}^{2 π} sin x cos x d x = 0, \int_{0}^{2 π} sin^{2} x d x = \int_{0}^{2 π} cos^{2} x d x = π, \end{matrix}

később

\begin{matrix} \int x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} . \end{matrix}

³Feltételezd, hogy a tekercsek középpontjai közelítőleg egy vonalban maradnak!
Használd a következő közelítéseket: $\frac{1}{1 \pm β} \approx 1 \mp β + β^{2}$ vagy $\frac{1}{1 \pm β^{2}} \approx 1 \mp β^{2}$ , ha $β ≪ 1$ , és $sin θ \approx tg θ$ , ha $θ$ kicsi.