Kezdőlap


Feladat:	2004. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 3. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2004/október, 430 - 432. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szilárd anyagok szerkezete, Egyéb nyújtás, összenyomás, Kényszerrezgés, Nemzetközi Fizika Diákolimpia
Hivatkozás(ok):	Feladatok megoldásai: 2004/november: 2004. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 3. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

3. feladat. Atomi erő mikroszkóp

Az atomi erő mikroszkóp (Atomic probe microscope, APM) a nano-tudomány igen hatékony eszköze. Az APM érzékelő karjának elmozdulását egy fotóérzékelő detektálja, az érzékelő karról visszavert lézersugár segítségével, ahogyan a 2. ábrán látható. Az érzékelő kar csak függőleges irányban képes mozogni, és a kar

z

elmozdulása az idő (

t)

függvényében a következő differenciálegyenlettel írható le:

\begin{matrix} m \frac{d^{2} z}{d t^{2}} + b \frac{d z}{d t} + k z = F, \end{matrix}

(3.1)

ahol

m

a kar tömege,

k = m ω_{0}^{2}

az érzékelő kart jellemző rugóállandó,

b

egy kicsiny csillapítási állandó, melyre teljesül, hogy

ω_{0} ≫ (b / m) > 0

, és végül

F

a piezoelektromos meghajtó által keltett külső gerjesztő erő.

2. ábra. Az atomi erő mikroszkóp (APM) vázlatos rajza. Az ábra jobb alsó sarkában látható kinagyított rész a piezoelektromos meghajtó és az érzékelő kar közti csatolás egyszerűsített mechanikai modelljét mutatja

A rész

(a)

(1,5 pont) Ha a gerjesztő erő

F = F_{0} sin ω t

alakú, akkor a (3.1) egyenlet

z (t)

megoldása

z (t) = A sin (ω t - ϕ)

alakban írható, ahol

A > 0

és

0 \leq ϕ \leq π

. Fejezd ki az

A

amplitúdót valamint a

tg ϕ

mennyiséget az

F_{0}

m

ω

ω_{0}

és

b

paraméter függvényében! Határozd meg az amplitúdót és a

ϕ

fázist az

ω = ω_{0}

rezonanciafrekvencián!

(b)

(1 pont) A 2. ábrán szereplő lock-in erősítőben létrejön a bemeneti jelnek és a

V_{R} = V_{R_{0}} sin ω t

úgynevezett lock-in referencia jelnek a szorzata, és az erősítő kimenetén a szorzatnak csak az egyenáramú (DC) komponense jelenik meg. Tegyük föl, hogy a bemeneti jel

V_{i} = V_{i_{0}} sin (ω_{i} t - ϕ_{i})

alakú. Az itt szereplő

V_{R_{0}}

V_{i_{0}}

, és

ϕ_{i}

mennyiségek mindegyike adott pozitív állandó. Határozd meg, hogy milyen

ω (> 0)

frekvencia mellett kapunk nem zérus kimenő jelet! Add meg a nem zérus, egyenáramú (DC) kimenő jel nagyságát leíró formulát ezen a frekvencián!

(c)

(1,5 pont) A ,,fázistoló'' egységen átjutó, eredetileg

V_{R} = V_{R_{0}} sin ω t

alakú lock-in referencia jel alakját a fázistoló egység után a

V'_{R} = V_{R_{0}} sin (ω t + π / 2)

formula írja le. A

V'_{R}

feszültség hatására a piezoelektromos meghajtó az érzékelő kart

F = c_{1} V'_{R}

erővel gerjeszti. Ezután a fotoérzékelő az érzékelő kar

z

elmozdulását

V_{i} = c_{2} z

alakú feszültségjellé alakítja. A formulákban szereplő

c_{1}

és

c_{2}

mennyiségek állandók. Határozd meg a nem zérus, egyenáramú (DC) kimenő jel nagyságát leíró formulát az

ω = ω_{0}

frekvencián!

(d)

(2 pont) Az érzékelő kar tömegének kicsiny

Δ m

megváltozása

Δ ω_{0}

-lal eltolja a rezonanciafrekvenciát. Ennek következtében az eredeti, rezonanciafrekvenciához tartozó

ϕ

fázis is

Δ ϕ

-vel eltolódik. Határozd meg azt a

Δ m

tömeg változást, melynek hatására

Δ ϕ = π / 1800

nagyságú fáziseltolódás jön létre! Tipikusan ilyen nagyságú a fázistolás-mérések pontossága. Az érzékelő kart jellemző fizikai paraméterek értéke a következő:

m = 1, 0 \cdot 10^{- 12}

kg,

k = 1, 0

N/m és

(b / m) = 1, 0 \cdot 10^{3} s^{- 1}

. Használd az

| x | ≪ 1

esetén érvényes

{(1 + x)}^{a} \approx 1 + a x

és

tg (π / 2 + x) \approx - 1 / x

közelítő formulákat!
B rész
Mostantól kezdve azt az esetet vizsgáljuk, amikor az A részben tárgyalt gerjesztő erőn kívül még az 2. ábrán látható minta is hat valamilyen erővel az érzékelő karra.

(e)

(1,5 pont) Annak ismeretében, hogy a minta által kifejtett

f (h)

erő csak a minta felszíne és az érzékelő kar közti

h

távolságtól függ, meghatározható az érzékelő kar egyensúlyi helyzetének új

h_{0}

értéke. A

h = h_{0}

érték közelében az erő az

f (h) \approx f (h_{0}) + c_{3} (h - h_{0})

alakban írható fel, ahol

c_{3}

állandó, nem függ

h

-tól. Fejezd ki az új

ω'_{0}

rezonanciafrekvenciát

ω_{0}

m

és

c_{3}

segítségével!

(f)

(2,5 pont) A mintát a mikroszkópban vízszintesen mozgatva pásztázzuk a minta felszínét. Az érzékelő kar tűje, melynek töltése

Q = 6 e

, egy

q = e

töltésű, a felszín alatt bizonyos mélységben csapdába került (térben lokalizált) elektron közelébe jut. A csapdázott elektron környékén pásztázva a felszínt, a rezonanciafrekvencia maximálisan észlelhető eltolódása

Δ ω_{0}

(

= ω'_{0} - ω_{0})

, ami jóval kisebb, mint

ω_{0}

. Fejezd ki a csapdázott elektron és az érzékelő kar közötti

d_{0}

távolságot maximális frekvencia eltolódás esetén az

m

q

Q

ω_{0}

Δ ω_{0}

mennyiségek és a

k_{e}

Coulomb állandó segítségével! Határozd meg

d_{0}

számértékét nm-ben (

1 nm = 1 \cdot 10^{- 9}

Δ ω_{0} = 20 s^{- 1}

frekvencia eltolódás mellett!
Az érzékelő kar fizikai paraméterei:

m = 1, 0 \cdot 10^{- 12}

kg és

k = 1, 0

N/m. Az érzékelő kar tűjében, valamint a minta felületén tekintsünk el a polarizációs effektusoktól. Fizikai állandók:

k_{e} = 1 / 4 π ε_{0} = 9, 0 \cdot 10^{9} N\cdotm^{2}/C^{2}

és

e = - 1, 6 \cdot 10^{- 19}