Feladat: 2004. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 2. feladata Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 2004/október, 429 - 430. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Gázok egyéb állapotváltozása, Egyéb nyújtás, összenyomás, Nemzetközi Fizika Diákolimpia
Hivatkozás(ok):Feladatok megoldásai: 2004/november: 2004. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

2. feladat. Felemelkedő ballon

 

Egy héliummal töltött gumiballon a levegőben magasra emelkedik, olyan régiókba, ahol a nyomás és a hőmérséklet a magasság növekedésével csökken. A következő kérdések tanulmányozásánál tételezzük fel, hogy a ballon a terheléstől függetlenül minden esetben gömbölyű marad, és hanyagoljuk el a terhelés térfogatát. Tegyük fel azt is, hogy a ballonban lévő héliumgáz hőmérséklete mindig azonos a környező levegő hőmérsékletével, és minden gázt kezeljünk ideális gázként. Az univerzális gázállandó R=8,31J/mol⋅K, és a hélium, illetve a levegő moláris tömege rendre MH=4,00⋅10-3 kg/mol, illetve MA=28,9⋅10-3 kg/mol. A nehézségi gyorsulás g=9,8m/s2.
A rész: (a) (1,5 pont) A környező levegő nyomása legyen P, hőmérséklete pedig T. A ballon ,,felületi feszültségének'' következtében a ballon belsejében a nyomás nagyobb a külső nyomásnál. A ballon n mol héliumgázt tartalmaz, és a belsejében a nyomás P+ΔP. Határozd meg a ballonra ható felhajtóerőt P és ΔP függvényében!
(b) (2 pont) Egy szép nyári napon Koreában a levegő T hőmérséklete a tengerszint feletti z magasság függvényében a T(z)=T0(1-z/z0) függvény szerint változott a 0<z<15 km tartományban, ahol z0=49 km és T0=303 K. A tengerszinten a nyomás, illetve a sűrűség értéke P0=1,01⋅105 Pa, illetve ϱ0=1,16kg/m3 volt. Ebben a magasság tartományban a nyomás a
P(z)=P0(1-z/z0)η.(2.1)
formulával adható meg. Fejezd ki az η kitevőt a z0, ϱ0, P0 és g paraméterekkel, és határozd meg numerikus értékét két értékes számjegy pontossággal. A nehézségi gyorsulást tekintsd a magasságtól független konstansnak.
B rész: Ha egy gömb alakú, nyújtatlan állapotban r0 sugarú gumiballont r(>r0) sugarúra fújunk fel, a gumi megnyúlása miatt a ballon felülete extra rugalmas energiára tesz szert. Egy egyszerű elmélet szerint állandó T hőmérsékleten ennek a rugalmas energiának az értéke
U=4πr02κRT(2λ2+1λ4-3),(2.2)
ahol a λ≡r/r0(≥1) számértéket lineáris méretnövekedési aránynak nevezzük, a κ paraméter pedig egy mol/m2 dimenziójú állandó.
(c) (2 pont) Fejezd ki ΔP-t a (2.2) egyenletben szereplő paraméterek függvényében, és ábrázold vázlatosan a ΔP nyomáskülönbséget a λ=r/r0 mennyiség függvényében.
(d) (1,5 pont) A κ konstans meghatározható a ballon felfújásához szükséges gáz mennyiségéből. A feszítetlen falú (λ=1) ballon T0=303 K hőmérsékleten és P0=1,01⋅105 Pa nyomáson n0=12,5 mol héliumot tartalmaz. Ugyanezen a T0 hőmérsékleten és P0 nyomáson a λ=1,5 méretűre felfújt ballon összesen n=3,6⋅n0=45 mol héliumot tartalmaz. Fejezd ki n, n0 és λ segítségével az a=κ/κ0 képlettel definiált úgynevezett ,,ballonparamétert'', ahol κ0≡r0P04RT0, valamint határozd meg a értékét két értékes számjegy pontossággal.
C rész: A ballont tengerszinten a (d) pontban leírt módon készítjük elő (azaz n=3,6⋅n0=45 mol hélium gázzal λ=1,5 méretűre fújjuk fel T0=303 K hőmérsékleten és P0=1atm=1,01⋅105 Pa nyomáson). A szerkezet teljes tömege (figyelembe véve a gumiballont, a bezárt gázt és minden egyéb terhet) MT=1,12 kg. Ekkor a tengerszintről elengedjük a ballont.
(e) (3 pont) Tegyük fel, hogy a ballon zf magasságig emelkedik, és ott megáll. Ezen a szinten a felhajtóerő egyensúlyt tart a nehézségi erővel. Határozd meg zf értékét, valamint ebben a magasságban a λf paramétert (lineáris méretnövekedési arányt). Válaszodat két értékes jegy pontossággal add meg. A ballon nem sodródik oldalirányban, és nem szökik el belőle gáz.