Feladat: 2004. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 1. feladata Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 2004/október, 428 - 429. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Időben állandó elektromos mező (elektrosztatika), Ütközés fallal, Nemzetközi Fizika Diákolimpia
Hivatkozás(ok):Feladatok megoldásai: 2004/november: 2004. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. feladat. ,,Pingpong-ellenállás''

 

Egy síkkondenzátor két kör alakú, párhuzamos lemezből áll, mindkettő sugara R, a közöttük lévő távolság d, ahol d≪R (1.(a). ábra). A felső lemez egy állandó feszültségforráshoz csatlakozik, amelynek potenciálja V, míg az alsó lemez földelt. Az alsó lemez közepére egy vékony, kicsiny, m tömegű korongot helyezünk, melynek sugara r(≪R,d), vastagsága t(≪r), (1.(b). ábra).
 

 
1. ábra. (a): Állandó feszültségforráshoz csatlakozó síkkondenzátor vázlatos rajza. (b) A párhuzamos lemezek oldalnézete a kondenzátorba helyezett kisméretű koronggal
 

Tételezzük fel, hogy a lemezek közötti térrészben vákuum van, amit az ε0 dielektromos állandó jellemez, továbbá a lemezek és a korong tökéletes vezetőanyagból készültek, illetve mindenféle elektrosztatikus él-effektust elhanyagolhatunk. Az egész áramkör induktivitásától és a relativisztikus hatásoktól szintén eltekinthetünk. A tükörtöltés hatásokat is elhanyagolhatjuk.
(a) (1,2 pont) Határozd meg az egymástól d távolságra lévő lemezek között ható Fp elektrosztatikus erőt, mielőtt a korongot a kettő közé helyeztük, amint ezt az 1.(a). ábra mutatja.
(b) (0,8 pont) Az 1.(b). ábrán lévő kicsiny korong q töltése a következő módon adható meg a felső lemez feszültségének függvényében: q=χV. Határozd meg a χ paramétert r, d és ε0 függvényében!
(c) (0,5 pont) A síkkondenzátor lemezei a g homogén gravitációs térre merőlegesen helyezkednek el. A kezdetben nyugalomban lévő korong megemeléséhez egy bizonyos Vk küszöbérték fölé kell növelnünk az alkalmazott feszültséget. Fejezd ki Vk-t m, g, d és χ segítségével!
(d) (2,3 pont) Ha V>Vk, a korong föl-le fog mozogni a lemezek között. (Tételezzük fel, hogy a korong mindenféle billegés nélkül, kizárólag függőlegesen mozog.) A korong és a lemezek közötti ütközések részben rugalmatlanok, amit az η ütközési számmal jellemezhetünk: η≡velőttvután, ahol velőtt és vután rendre a korong sebessége közvetlenül az ütközés előtt és után. A lemezek végig rögzítettek, nem mozdulnak el. Hosszú idő után a korong ,,állandósult'' mozgást fog végezni, a korong viselkedése ismétlődő mozgáshoz tart, melyben a korong vs sebességét közvetlenül az alsó lemezzel történő ütközés után a következő módon fejezhetjük ki a V feszültséggel:
vs=αV2+β.
Fejezd ki az α és β együtthatókat m, g, χ, d és η felhasználásával! Tételezd fel, hogy az ütközésekkor a korong teljes felülete egyenletesen és egyszerre érinti a lemezeket, és a teljes töltéscsere minden ütközéskor pillanatszerűen történik.
(e) (2,2 pont) Az állandósult állapot elérése után a kondenzátor lemezein keresztülfolyó áram I időátlagát így közelíthetjük: I=γV2, ha teljesül a qV≫mgd feltétel. Fejezd ki a γ együtthatót m, χ, d és η segítségével!
(f) (3 pont) Ha az alkalmazott V feszültséget (rendkívül lassan) csökkentjük, akkor elérünk egy olyan Vc kritikus feszültséget, amely alatt az áramkörben hirtelen megszűnik az áram. Határozd meg Vc értékét, és a hozzá tartozó Ic áramot m, g, χ, d és η segítségével! Készíts vázlatos grafikont (melyben összehasonlítod Vc értékét a (c) alkérdésben tárgyalt Vk felemelkedési küszöbértékkel) az áram‐feszültség karakterisztikáról, vagyis az I‐V függvényről, miközben V először nulláról nagyjából 3Vk-ra növekszik, majd újra nullára csökken.