A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 2. feladat. Piezoelektromos kristályrezonátor elektromos váltófeszültséggel Tekintsünk egy homogén, keresztmetszetű rudat, melynek mechanikai feszültségektől mentes állapotban a hossza (3. ábra).
![](upload/abr2/ab2693.png) 3. ábra Ha a rúd két végén azonos nagyságú, de ellentétes irányú, a felületre merőleges erő hat, a rúd hossza -lel megváltozik. A mechanikai feszültséget a rúd végein az képlet definiálja. A rúd hosszának relatív megváltozását, azaz -t deformációnak nevezzük, és -sel jelöljük. A mechanikai feszültség és a deformáció segítségével a Hooke-törvényt a következő alakban is felírhatjuk: ahol a rúd anyagának Young-modulusa. Jegyezzük meg, hogy nyomó feszültség, ha és a rúd hossza csökken (azaz ). Az ilyen feszültség tehát negatív, és értéke a nyomás -szerese: Egy homogén, sűrűségű rúdban a longitudinális hullámok terjedési sebessége (azaz a hangsebesség) a következő képlettel adható meg: (A feladat megoldása során minden csillapítás és elnyelődés elhanyagolható.)
A. Mechanikai tulajdonságok Egy homogén, egyik irányban végtelen rúd (kiterjedése -tól -ig tart), sűrűsége . A rúd kezdetben nyugalomban van és feszültségmentes. A rúd bal felületére az helyen egy nagyon rövid ideig állandó, kicsiny nyomás hat, és ezzel elindít egy sebességgel jobbra haladó nyomáshullámot (4. ábra).
![](upload/abr2/ab2694.png) 4. ábra Mekkora ez alatt a idő alatt az deformáció és a nyomás a rúd bal oldali felületénél, ha a dugattyú a rúd bal oldali felületét állandó sebességgel mozgatja (4. ábra)? A választ , és függvényében kell megadni (1,6 pont)!
![](upload/abr2/ab2695.png) 5. ábra Tekintsünk egy longitudinális hullámot, amely irányban terjed a rúdban! Jelöljük a rúd feszültségmentes állapotában helyen levő keresztmetszetének időpontbeli elmozdulását -vel (5. ábra), és tételezzük fel, hogy ahol és állandók. Határozd meg a megfelelő sebességet, deformációt és nyomást és függvényében (2,4 pont)!
B. Elektromechanikai tulajdonságok (beleértve a piezoelektromos hatást) Tekintsünk egy hasáb alakú kvarckristályt, amelynek hossza , vastagsága és szélessége (6. ábra)! A hossza tengely irányú, vastagsága pedig tengely irányú. Az alsó és a felső felületén vékony fémbevonat segítségével elektromos kontaktusokat alakítottak ki. Az elektromos vezetékek, amelyek egyben tartószerkezetként is szolgálnak (7. ábra) a kontaktusok közepére vannak forrasztva, ezért az irányú longitudinális rezgések során ezek a pontok nyugalomban kell maradjanak.
![](upload/abr2/ab2696.png) 6. ábra ![](upload/abr2/ab2697.png) 7. ábra A vizsgált kvarckristály sűrűsége , Young-modulusa pedig Y=7,87⋅1010N/m2. A hasáb hossza b=1,00 cm, a w szélességre és a h vastagságra pedig h≪w≪b teljesül. A K kapcsoló nyitva van, és feltételezzük, hogy csak x irányú longitudinális módusú állóhullámok gerjesztődnek a kvarc hasábban. Egy f=ω/(2π) frekvenciájú állóhullámban a ξ(x,t) elmozdulás a következő alakba írható: | ξ(x,t)=2ξ0g(x)cosωt,(0≤x≤b), | (4a) | ahol ξ0 egy pozitív konstans, a g(x) helyfüggő tényező | g(x)=B1sink(x-b2)+B2cosk(x-b2) | (4b) | alakú, g(x) maximális értéke 1 és k=ω/u. Ne felejtsd el, hogy az elektromos kontaktusok közepe nyugalomban van, és hogy a hasáb bal és jobb vége szabad, a mechanikai feszültség (vagy a nyomás) értéke ezeken a helyeken nulla kell legyen! c) Határozd meg a (4b) képletben szereplő B1 és B2 állandók értékét, ha a kvarc hasábban egy longitudinális állóhullám alakul ki (1,2 pont)! d) Mekkora az a két legkisebb frekvencia, amelyen longitudinális állóhullám gerjeszthető a kvarc hasábban (1,2 pont)?
A piezoelektromos hatás a kvarckristály speciális tulajdonsága. A kristály összenyomása vagy megnyújtása elektromos feszültséget hoz létre a kristályban, és fordítva, a kristályra kapcsolt külső elektromos feszültség vagy megnyúlást, vagy összehúzódást okoz, a polaritástól függően. Így a mechanikai és az elektromos rezgések csatolódhatnak és rezonálhatnak a kvarckristályban. Legyen a felső és az alsó elektromos kontaktus elektromos töltéssűrűsége -σ, illetve +σ, ha a kvarc hasábban E nagyságú, z irányú elektromos tér van! Jelölje a hasáb x irányú deformációját és mechanikai feszültségét S, illetve T! Ekkor a piezoelektromos hatás a kvarckristályban a következő egyenletrendszerrel írható le:
S=(1/Y)T+dpE,(5a)σ=dpT+εTE,(5b)
ahol 1/Y=1,27⋅10-11m2/N a Young-modulus reciproka állandó elektromos tér esetén, εT=4,06⋅10-11F/m a dielektromos állandó konstans mechanikai feszültség esetén, dp=2,25⋅10-12m/V pedig a piezoelektromos együttható. Legyen most a 6. ábrán látható K kapcsoló zárva! Ekkor U(t)=Umcosωt elektromos váltófeszültség jelenik meg a kontaktusokon, és a kvarc hasábban homogén, E(t)=U(t)/h nagyságú, z irányú elektromos tér keletkezik. Az állandósult állapot kialakulása után a hasábban egy x irányú, ω körfrekvenciájú longitudinális állóhullám figyelhető meg. Mivel E homogén, a λ hullámhossz és a hasábban lévő állóhullámok f frekvenciája között továbbra is érvényes a λ=u/f összefüggés, ahol u értékét a (2) egyenlet adja meg. A T=YS összefüggés azonban most már nem érvényes, mint ahogy azt az (5a) egyenlet is mutatja. Ugyanakkor a deformáció és a mechanikai feszültség definíciója változatlan, a hasáb végei pedig továbbra is szabadok, nulla mechanikai feszültséggel.
e) Az (5a) és az (5b) egyenletek figyelembevételével a σ felületi töltéssűrűség az alsó elektromos kontaktuson x és t függvényében | σ(x,t)=[D1cosk(x-b2)+D2]U(t)h | alakú lesz, ahol k=ω/u. Vezesd le a fenti D1 és D2 mennyiségeket megadó összefüggéseket (2,2 pont)! f) Az alsó kontaktuson lévő teljes Q(t) elektromos töltés az U(t) feszültségtől a | Q(t)=[1+α2(2kbtgkb2-1)]C0U(t). | képlet szerint függ. Vezesd le a kifejezésben szereplő C0 és α2 mennyiségeket megadó összefüggéseket, valamint α2 numerikus értékét (1,4 pont)!
|