Feladat: 2003. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 1. feladata Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 2003/október, 427 - 428. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyéb kényszermozgás, Munkatétel, energiamegmaradás pontrendszerekre, Nemzetközi Fizika Diákolimpia
Hivatkozás(ok):Feladatok megoldásai: 2003/november: 2003. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. feladat. Inga, melynek felső végét is egy súly húzhatja

 

Egy R sugarú merev rudat a talaj felett bizonyos magasságban vízszintes helyzetben rögzítettünk. Egy elhanyagolható tömegű, L hosszúságú (L>2πR) fonál egyik végét az 1. ábrán látható módon a rúd legfelső, A pontjában rögzítettük, a másik végére m tömegű pontszerűnek tekinthető testet erősítve ingát készítettünk. A fonalat feszesen tartva az inga nehezékét az A ponttal azonos magasságba emeljük, majd onnan kezdősebesség nélkül elengedjük. A fonalat kezdetben feszültségmentesnek tekinthetjük, és feltehetjük, hogy az ingatest a rúd tengelyére merőleges síkban mozog. A továbbiakban az ingatestet részecskének fogjuk nevezni. A nehézségi gyorsulás g.
 

 
1. ábra
 

Legyen O a koordináta-rendszerünk origója! Amikor a részecske a P pontban van, a fonál a hengerfelület Q pontbeli érintőjével egyirányú. A QP szakasz hosszát s-sel jelöljük. A Q pontbeli érintő irányú egységvektort jelölje t^, a sugár irányú egységvektort pedig r^. Az OQ sugár szögelfordulása θ, melyet az OA függőleges x tengelytől az óramutató járásával ellentétes irányban tekintjük pozitívnak.
Amikor θ=0, az s távolság nagysága L, és a részecske gravitációs potenciális energiája, U legyen nulla. A részecske mozgása során az időben változó θ és s mennyiségek változási sebességét jelölje θ˙ és s˙. Hacsak nem jelezzük másként, valamennyi sebességet a rögzített O pontra vonatkoztatjuk.
 
A. Ebben a részben a részecske mozgása során a fonál végig feszes marad. A fentebb bevezetett mennyiségek (vagyis s, θ, s˙, θ˙, R, L, g, t^ és r^) segítségével fejezzük ki:
 

a) θ˙ és s˙ közötti kapcsolatot (0,5 pont).
b) A mozgó Q pont O ponthoz viszonyított sebességvektorát (0,5 pont).
c) A P pontban levő részecske Q ponthoz viszonyított vQ sebességvektorát (0,7 pont).
d) A P pontban levő részecske v sebességvektorát az O ponthoz viszonyítva (0,7 pont).
e) A P pontban levő részecske O pontra vonatkoztatott gyorsulásának komponensét (0,7 pont).
f) A P pontban levő részecske U gravitációs potenciális energiáját (0,5 pont).
g) A részecske sebességének vm nagyságát a pályájának legalacsonyabb pontjában (0,7 pont).
 

B. Ebben a részben az L és R mennyiségek aránya legyen
LR=9π8+23ctgπ16≈6,886.

 
h) Adjuk meg a részecske sebességének nagyságát (g és R függvényében) abban a helyzetben, amikor a QP fonalhossz a legrövidebb, de a fonal még nem lazult meg (2,4 pont).
i) Mekkora a rúd túlsó oldalára átlendült részecske sebessége (g és R függvényében) a pályájának ottani legmagasabb, H pontjában (1,9 pont)?
 
C. Ebben a részben az m tömegű nehezékkel rendelkező inga fonalának felső végét nem rögzítjük az A ponthoz, hanem a fonalat a rúd tetején átvetve a végét egy nehezebb, M tömegű súlyhoz kapcsoljuk, az 2. ábrán látható módon. A súly ugyancsak pontszerűnek tekinthető. Kezdetben az ingatestet az A ponttal azonos magasságban tartjuk, a másik oldalon a súly az O pontnál mélyebben helyezkedik el, a fonál feszes, és a vízszintes részének hossza L. Ezután az ingatestet kezdősebesség nélkül elengedjük, és a súly is süllyedni kezd. Feltehetjük, hogy az ingatest mindvégig egy függőleges síkban mozog, és át tud lendülni a lefelé mozgó súly mellett, anélkül, hogy egymás mozgását megzavarnák. A rúd felülete és a fonal közötti csúszási súrlódás elhanyagolható, a tapadó súrlódásról viszont feltesszük, hogy az elegendően nagy, és emiatt az egyszer megálló súly nem tud ismét megmozdulni, nyugalomban kell maradjon.
 

 
2. ábra
 

j) Tegyük fel, hogy a súly D nagyságú függőleges elmozdulás után valóban megáll, és hogy (L-D)≫R. Ahhoz, hogy az ingatest a rúd körül teljesen körbefordulhasson, vagyis θ=2π lehessen, méghozzá úgy, hogy a fonál mindkét ága egyenes maradjon, az szükséges, hogy az α=D/L hosszúságarány ne legyen kisebb egy bizonyos kritikus αk értéknél.
Elhanyagolva az R/L nagyságrendű, vagy ennek magasabb hatványait tartalmazó kicsiny tagokat, adjunk becslést αk nagyságára az M/m tömegaránnyal kifejezve (3,4 pont)!