Kezdőlap


Feladat:	A.255	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2001/január, 40. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvények, Egyenlőtlenségek, Természetes számok, Nehéz feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $q = \frac{1 + \sqrt[]{5}}{2}$ , és definiáljuk a pozitív egészeken értelmezett $f$ függvényt a következőképpen.

*	$1.$ Legyen $f (1) = 2$ ;

*	$2.$ Ha $f (1)$ , $...$ , $f (n - 1)$ -et már definiáltuk, és az $n$ nem szerepel ezek között, akkor legyen $f (n) = f (n - 1) + 1$ ;

3.

f (1)

...

f (n - 1)

-et már definiáltuk, és az

n

szerepel ezek között, akkor legyen

k

a legkisebb pozitív egész, amelyre

f (k) = n

, és legyen

f (n) = n + k

. Igazoljuk, hogy tetszőleges

n

pozitív egészre

\begin{matrix} q n - \frac{1}{q} < f (n) \leq q n + \frac{1}{q^{2}} . \end{matrix}