Kezdőlap


Feladat:	2000. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 13. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2000/szeptember, 327. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Konstruktív megoldási módszer, Szöveges feladatok, Algebrai egyenlőtlenségek, Nemzetközi Matematikai Diákolimpia
Hivatkozás(ok):	Feladatok megoldásai: 2000/október: 2000. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 13. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $n \geq 2$ pozitív egész szám. A kiinduló állásban $n$ bolha ül egy vízszintes egyenesen, nem mind ugyanabban a pontban.
Egy $λ$ pozitív valós számra definiáljunk egy lépést a következőképpen:

*	válasszunk ki két bolhát, amelyek az $A$ és $B$ pontokban ülnek, ahol $A$ balra van $B$ -től;

*	ugorjon az $A$ -n lévő bolha az egyenesnek abba a $C$ pontjába, ami jobbra van $B$ -től, és amelyre $B C / A B = λ$ teljesül.

Határozzuk meg az összes olyan

λ

értéket, amelyre teljesül, hogy akárhogyan választva az

M

pontot az egyenesen, és akárhogyan választva az

n

bolha kiindulási pozícióját, létezik lépéseknek egy olyan véges sorozata, amelyek végrehajtása után az összes bolha

M

-től jobbra helyezkedik el.