Kezdőlap


Feladat:	707. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Kitűző(k):	Frankl Ignácz
Füzet:	1899/június, 172. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Hossz, kerület, Terület, felszín, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Szögfelező egyenes, Körülírt kör, Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok megoldásai: 1900/február: 707. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha az $A B C$ háromszög belső szögfelezőit a háromszög köré írható kör kerületéig meghosszabbítjuk, akkor az $A' B' C'$ háromszöget kapjuk; e háromszög oldalai az eredeti háromszög szögfelezőit $A_{1}, B_{1},$ és $C_{1}$ pontokban metszik; az $A_{1} B_{1} C_{1}$ háromszög szögfelezői az ezen háromszög köré írható kör kerületét az $A'', B'', C''$ pontokban metszik; az $A'', B'', C''$ háromszög oldalai pedig az $A_{1} B_{1} C_{1}$ háromszög szögfelezőit $A_{2} B_{2} C_{2}$ pontokban metszik stb. Eme eljárást a végtelenig folytatva, számítsuk ki az

\begin{matrix} A B C, A_{1} B_{1} C_{1}, A_{2} B_{2} C_{2}, ... \end{matrix}

háromszögek kerületeinek és területeinek összegét, ha az

A B C

háromszög kerülete

K

, területe

T

. Mutassuk meg továbbá, hogy

\begin{matrix} T : T' = 8 sin \frac{α}{2} sin \frac{β}{2} sin \frac{γ}{2} \end{matrix}

és

\begin{matrix} r : r' = a b c (a' + b' + c') : a' b' c' (a + b + c), \end{matrix}

T'

A' B' C'

területe,

r

és

r'

pedig a megfelelő háromszögekbe írható körök sugarai.