Feladat: 630. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Kitűző(k):  Riesz Frigyes 
Füzet: 1898/december, 68. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Simson-egyenes, Feuerbach-kör, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Magasságpont, Körülírt kör, Középponti és kerületi szögek, Trapézok, Húrnégyszögek, Háromszögek hasonlósága, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok megoldásai: 1899/március: 630. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha egy háromszögnek a csúcsain átmenő kör kerületének egy tetszés szerinti P pontjából a háromszög oldalaira merőlegeseket rajzolunk, akkor e merőlegesek talppontjai egy egyenesen, a P ponthoz tartozó Simson-féle egyenesen feküsznek.
Bizonyítsuk be a következő tételeket:

 
1∘. A P ponthoz tartozó Simson-féle egyenes felezi a P pontot a háromszög magassági pontjával összekötő egyenest.
2∘. A P1 és P2 pontokhoz tartozó s1 és s2 Simson-féle egyenesek által bezárt szög egyenlő a P1P2 ívhez tartozó kerületi szöggel.
3∘. A körülírt kör változó átmérőjének végpontjaihoz tartozó Simson-féle egyenesek metszőpontjainak mértani helye a Feuerbach-féle kör.