Kezdőlap


Feladat:	486. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Kitűző(k):	Grosz Andor
Füzet:	1898/február, 104 - 105. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Beírt kör, Súlypont, Középpontos tükrözés, Beírt kör középpontja, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok megoldásai: 1898/szeptember: 486. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $A B C$ háromszögbe írható kör a háromszög oldalait $T_{1}, T_{2}, T_{3}$ pontokban érinti; ezeknek az oldal-középpontokra nézve symmetrikus pontjai $T_{1}', T_{2}', T_{3}'$ . Kössük össze a $T_{1}', T_{2}', T_{3}'$ pontokat a szemközt fekvő $A, B, C$ csúcsokkal.^{$^{*}$} $A T_{1}', B T_{2}', C T_{3}'$ egyenesek egy $J$ ponton mennek keresztül. Rajzoljunk az $A, B, C$ csúcsokon át a szemközt fekvő oldalakkal párhuzamosokat, miáltal az $A_{1} B_{1} C_{1}$ háromszöget kapjuk. Rajzoljunk e háromszög csúcsain át ismét párhuzamosokat a szemközt fekvő oldalakkal s folytassuk ezen eljárásunkat, miáltal az $A_{2} B_{2} C_{2}, A_{3} B_{3} C_{3}, ..., A_{n} B_{n} C_{n}$ háromszögeket kapjuk. Határozzuk meg e háromszögekben a $J', J'', ..., J^{(n)}$ pontokat úgy, a hogy az $A B C$ háromszögben $J$ -t, s bizonyítsuk be, hogy:
1 $^{\circ}$

\begin{matrix} J, J', J'', ..., J^{(n)} \end{matrix}

egy egyenesen feküsznek és
2

^{\circ}

\begin{matrix} J^{(n)} S = 2^{n + 1} J_{0} S, \end{matrix}

a hol

J_{0}

A B C

háromszögbe írható kör középpontja és

S

e háromszög súlypontja.

^{$^{*}$} E feladatoknál a következő jelöléseket alkalmazzuk:

s = \frac{a + b + c}{2}, s_{1} = s - a, s_{2} = s - b, s_{3} = s - c

R

a háromszög köré írható kör sugara,

O

a középpontja;

r

a háromszögbe írható kör sugara,

O'

e kör középpontja;

r_{1}, r_{2}, r_{3}

a háromszög oldalait kívülről érintő körök sugarai;

O_{1}, O_{2}, O

e körök középpontjai.

O O' = d, O O_{1} = d_{1}, O O_{2} = d_{2}, O O_{3} = d_{3}

. A beírt kör

K_{1}, K_{2}, K_{3}

pontokban érinti a háromszög oldalait; az

r_{1}, r_{2}, r_{3}

sugarú körök

K_{1}', K_{1}'', K_{1}''', K_{2}', K_{2}'', K_{2}''', K_{3}', K_{3}'', K_{3}'''

pontokban érintik a háromszög oldalait.