Kezdőlap


Feladat:	397. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Kitűző(k):	Bozóky Endre
Füzet:	1897/szeptember, 7 - 9. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hol a hiba?, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok megoldásai: 1898/január: 397. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

397.^{$^{*}$} Mennyiségtani játékok.

A K.M.L. IV. évfolyamának 7. számában néhány tréfás algebrai bizonyítást mutattunk be; lássunk most geometriai bizonyításokat, melyek hibás eredményre vezetnek.
1. Kimutatjuk, hogy a tompa szög egyenlő a derékszöggel. Legyen adva az

A B C D

négyszög, melyben

A B D ∠ = 90^{\circ}, B A C

szög tompaszög és

A C = B D .

A B

és

C D

oldalak középpontjaiban merőlegeseket emelünk, melyek egymást

S

pontban metszik.

Kössük össze

S

-et a négyszög csúcspontjaival. Nyilvánvaló, hogy

\begin{matrix} S A = S B, S C = S D . \end{matrix}

Minthogy továbbá feltevés szerint

B D = A C

, tehát

\begin{matrix} S A C ▵ ≅ S B D ▵, \end{matrix}

mert oldalaik sorban egyenlők. Ennélfogva

\begin{matrix} C A S ∢ = D B S ∢ . \end{matrix}

Másrészt világos, hogy

\begin{matrix} L A S ∢ = L B S ∢, \end{matrix}

mert az

S A B

háromszög egyenlőszárú s így

\begin{matrix} C A S ∢ - L A S ∢ = D B S ∢ - L B S ∢ \end{matrix}

tehát

C A B ∢ = A B D ∢

.
2. Minden háromszög egyenlőszárú. Rajzoljuk meg az

A B C

háromszögben az

A O

szögfelezőt s emeljünk

B C

középpontjában merőlegest. Ha

A O ⊥ B C

-re, akkor

A O

egybe esik

A_{1} O

-val,

A B = A C

és a háromszög egyenlőszárú. De ha

A O

nem merőleges

B C

-re, akkor

A O

és

A_{1} O

egymást egy

O

pontban metszik.

Bocsássunk

O

-ból az

A B

és

A C

oldalakra merőlegeseket. Ekkor

\begin{matrix} A O B_{1} ▵ ≅ A O C_{1} ▵ \end{matrix}

mert mindkettő derékszögű,

A O

átfogójuk közös és

O A B_{1} ∢ = O A C_{1} ∢

. Tehát

\begin{matrix} A B_{1} = A C_{1} \end{matrix}

(1)

és

\begin{matrix} O B_{1} = O C_{1} . \end{matrix}

Továbbá

\begin{matrix} A_{1} O B ▵ ≅ A_{1} O C ▵, \end{matrix}

mert mindkettő derékszögű és befogóik egyenlők. Ennélfogva

\begin{matrix} O B = O C . \end{matrix}

Végül

\begin{matrix} O B_{1} C ▵ ≅ O C_{1} B ▵, \end{matrix}

mert mindkettő derékszögű, továbbá a megelőzők szerint

O B = O C

és

O C_{1} = O B_{1}

. Így tehát

\begin{matrix} B C_{1} = C B_{1} \end{matrix}

(2)

(1)-ből és (2)-ből tehát következik, hogy

\begin{matrix} A B_{1} + B_{1} C = A C_{1} + C_{1} B \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} A C = A B \end{matrix}

s így az

A B C

háromszög csakugyan eyenlőszárú.
3. Ha egy négyszögben két szemközt fekvő oldal egyenlő, akkor a másik két szemközt fekvő oldal párhuzamos.
Ha tehát

A B = D C

, akkor

A D ∥ B C

. Emeljünk az

A D

és

B C

oldalak középpontjaiban merőlegeseket, melyek egymást

O

-ban metszik és kössük össze

O

-t a négyszög csúcspontjaival.

Nyilvánvaló, hogy

\begin{matrix} O A = O D, O B = O C \end{matrix}

és a feltevés szerint

\begin{matrix} A B = D C \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} O A B ▵ ≅ O D C ▵ \end{matrix}

s így

\begin{matrix} A O B ∢ = D O C ∢ . \end{matrix}

De másrészt

\begin{matrix} J O A ∢ = J O D ∢ és B O K ∢ = C O K ∢, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} J O A ∢ + A O B ∢ + B O K ∢ = J O D ∢ + D O C ∢ + C O K ∢ . \end{matrix}

Minthogy az egy pont körül fekvő szögek összege

360^{\circ}

, ezért

\begin{matrix} J O A ∢ + A O B ∢ + B O K ∢ = 180^{\circ} \end{matrix}

vagyis

J O K ∢

egyenes szög, tehát

J O

és

O K

egy ugyanazon egyenesbe esnek. Ha pedig

A D

és

B C

ugyanazon

J K

egyenesre merőlegesek, akkor

A D

csakugyan párhuzamos

B C

-vel.

^{$^{*}$}Kérjük az egyes bizonyításokban előforduló hibák megjelölését.