Kezdőlap


Feladat:	1987. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 13. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1987/szeptember, 246. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számtani közép, Kvadratikus közép, Hatványközepek közötti egyenlőtlenség, Skatulyaelv, Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}$ valós számokra teljesül az

\begin{matrix} x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + ... + x_{n}^{2} = 1 \end{matrix}

egyenlőség. Bizonyítsuk be, hogy minden,

2

-nél nem kisebb

k

természetes számhoz találhatók olyan

a_{i}

egész számok (

i = 1, 2, ..., n

), amelyek nem mind egyenlők

0

-val,

| a_{i} | \leq k - 1

valamennyi

i

-re, és érvényes rájuk az alábbi egyenlőtlenség:

\begin{matrix} | a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2} + ... + a_{n} x_{n} | \leq \frac{(k - 1) n}{k^{n} - 1} . \end{matrix}