Kezdőlap


Feladat:	1985. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 23. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1985/szeptember, 242. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számsorozatok, Sorozat határértéke, Teljes indukció módszere, Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Minden $x_{1}$ valós számmal állítsuk elő az $x_{1}$ , $x_{2}$ , $...$ sorozatot, amelyben

\begin{matrix} x_{n + 1} = x_{n} (x_{n} + \frac{1}{n}) \end{matrix}

bármely,

1

-nél nem kisebb

n

természetes számra.
Bizonyítsuk be, hogy ekkor

x_{1}

-nek pontosan egy olyan értéke van, amelyre a

\begin{matrix} 0 < x_{n} < x_{n + 1} < 1 \end{matrix}

egyenlőtlenség-lánc minden

n

természetes szám esetén teljesül.