Kezdőlap


Feladat:	1982. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 13. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1982/szeptember, 1. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számsorozatok, Konstruktív megoldási módszer, Nemzetközi Matematikai Diákolimpia
Hivatkozás(ok):	Feladatok megoldásai: 1984/január: 1982. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 13. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

3. Tekintsük a következő tulajdonságú valós $(x_{n})$ számsorozatokat:

\begin{matrix} x_{0} = 1, és i ≧ 0 esetén 0 < x_{i + 1} < x_{i} . \end{matrix}

(a) Bizonyítandó, hogy minden ilyen sorozathoz van olyan

n ≧ 1

, amelyre

\begin{matrix} \frac{x_{0}^{2}}{x_{1}} + \frac{x_{1}^{2}}{x_{2}} + ... + \frac{x_{n - 1}^{3}}{x_{n}} ≧ 3,999. \end{matrix}

(b) Adjunk meg egy ilyen sorozatot, amelyre minden

n

esetén

\begin{matrix} \frac{x_{0}^{2}}{x_{1}} + \frac{x_{1}^{2}}{x_{2}} + ... + \frac{x_{n - 1}^{3}}{x_{n}} < 4. \end{matrix}

Szovjetunió