Kezdőlap


Feladat:	1976. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 22. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1976/szeptember, 8. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenségek, Skatulyaelv, Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Nézzük a következő, $p$ egyenletet és $q = 2 p$ ismeretlent tartalmazó egyenletrendszert:

\begin{matrix} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + ... + a_{1 q} x_{q} = 0 \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + ... + a_{2 q} x_{q} = 0 \\ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... & (1) \\ a_{p 1} x_{1} + a_{p 2} x_{2} + ... + a_{p q} x_{q} = 0 \end{matrix}

ahol

a_{i j} \in {0, - 1, 1}

(i = 1, 2, ..., p; j = 1, 2, ..., q)

Bizonyítsuk be, hogy az

(1)

egyenletrendszernek van olyan

x_{1}, x_{2}, ..., x_{q}

megoldása amely a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

a) valamennyi

x_{j} (j = 1, 2, ..., q)

egész számmal egyenlő;
b) az

x_{j} (j = 1, 2, ..., q)

számok között van nem

0

;
c)

| x_{j} | \leq q (j = 1, 2, ..., q)