Kezdőlap


Feladat:	1974. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 12. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1974/szeptember, 2. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körülírt kör, Háromszögek hasonlósága, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Szinusztétel alkalmazása, Trigonometrikus egyenlőtlenségek, Mértani közép, Nemzetközi Matematikai Diákolimpia
Hivatkozás(ok):	Feladatok megoldásai: 1974/november: 1974. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 12. feladata, 1975/szeptember: 1974. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 12. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje $A$ , $B$ , $C$ rendre egy háromszög csúcsait; $α$ , $β$ és $γ$ pedig ugyanilyen sorrendben a csúcsoknál levő szögeinek mérőszámát.
Bizonyítsuk be, hogy akkor és csak akkor található az $A B$ szakaszon olyan $D$ pont, amelyre a $C D$ szakasz hossza az $A D$ és $B D$ szakaszok hosszának mértani közepe, ha

\begin{matrix} sin α \cdot sin β \leq sin^{2} \frac{γ}{2} . \end{matrix}