Kezdőlap


Feladat:	1971. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 21. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1971/szeptember, 1. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hossz, kerület, Indirekt bizonyítási mód, Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $A B C D$ tetraéder minden lapja hegyesszögű háromszög. Legyen $X$ , $Y$ , $Z$ , $T$ rendre az $A B$ , $B C$ , $C D$ , ill. $D A$ él egy-egy belső pontja, és tekintsük az összes $X Y Z T X$ zárt törött vonalát. Bizonyítsuk be, hogy
a) ha $D A B ∢ + B C D ∢ \neq A B C ∢ + C D A ∢$ , akkor az $X Y Z T X$ törött vonalak között nincs legrövidebb;

b) ha $D A B ∢ + B C D ∢ = A B C ∢ + C D A ∢$ , akkor az $X Y Z T X$ törött vonalak között végtelen sok legrövidebb van; ezek mindegyike $2 \cdot A C \cdot sin \frac{α}{2}$ hosszúságú, ahol

\begin{matrix} α = B A C ∢ + C A D ∢ + D A B ∢ . \end{matrix}