Kezdőlap


Feladat:	1970. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 13. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1970/szeptember, 10. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Konvergens sorok, Nevezetes azonosságok, Konstruktív megoldási módszer, Mértani sorozat, Határozott integrál, Nemzetközi Matematikai Diákolimpia
Hivatkozás(ok):	Feladatok megoldásai: 1970/október: 1970. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 13. feladata, 1971/december: 1970. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 13. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $a_{0}$ , $a_{1}$ , $a_{2}$ , $...$ , $a_{n}$ , $...$ valós számokból álló sorozat eleget tesz az

\begin{matrix} 1 = a_{0} \leq a_{1} \leq a_{2} \leq ... \leq a_{n} \leq ... \end{matrix}

(1)

egyenlőtlenség-láncnak.
Ezután a

b_{1}

b_{2}

...

b_{n}

...

sorozatot a következőképpen definiáljuk:

\begin{matrix} b_{n} = \sum_{k - 1}^{n} (1 - \frac{a_{k - 1}}{a_{k}}) \frac{1}{\sqrt[]{a_{k}}} . \end{matrix}

Bizonyítsuk be, hogy
I. a

0 \leq b_{n} < 2

egyenlőtlenségpár minden

n

-értékre fennáll;
II. bármely adott és a

0 ≦ c < 2

egyenlőtlenségpárt kielégítő

c

valós szám esetén létezik olyan, az (1) egyenlőtlenség-láncnak eleget tevő

a_{0}

a_{1}

a_{2}

...

a_{n}

...

sorozat, hogy a belőle képezett

b_{n}

számok közül végtelen sok nagyobb

c

-nél.