Kezdőlap


Feladat:	1969. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 23. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1969/szeptember, 9. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Cauchy-Schwarz-Bunyakovszkij-féle egyenlőtlenség, Nemzetközi Matematikai Diákolimpia
Hivatkozás(ok):	Feladatok megoldásai: 1969/október: 1969. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 23. feladata, 1970/április: 1969. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 23. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Bizonyítsuk be, hogy ha $x_{1} > 0$ , $x_{2} > 0$ , $x_{1} y_{1} - z_{1}^{2} > 0$ és $x_{2} y_{2} - z_{2}^{2} > 0$ , akkor fennáll a következő egyenlőtlenség:

\begin{matrix} \frac{8}{(x_{1} + x_{2}) (y_{1} + y_{2}) - {(z_{1} - z_{2})}^{2}} \leq \frac{1}{x_{1} y_{1} - z_{1}^{2}} + \frac{1}{x_{2} y_{2} - z_{2}^{2}} \end{matrix}

(1)

Állapítsuk meg annak szükséges és elegendő feltételét is, hogy mikor érvényes (1)-ben az egyenlőség jele!