Feladat: 1968. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 22. feladata Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 1968/szeptember, 10. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Függvényegyenletek, Nevezetes azonosságok, Nemzetközi Matematikai Diákolimpia
Hivatkozás(ok):Feladatok megoldásai: 1969/február: Pontversenyen kívüli P.2, 1968/szeptember: 1968. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 22. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelentsen f olyan valós függvényt, amely minden valós x-re értelmezett, továbbá a következő tulajdonságú:

f(x+a)=12+f(x)-[f(x)]2,
ahol a adott pozitív szám.
I. Bizonyítsuk be, hogy az f függvény periodikus, azaz létezik olyan pozitív b szám, amelyre x minden értéke esetén fennáll:
f(x+b)=f(x).

II. Adjunk konkrét példát (az azonosan állandótól különböző) ilyen f függvényre, ahol a=1.