Kezdőlap


Feladat:	1964. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 23. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1964/október, 78. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Poliéderek hasonlósága, Súlyvonal, Súlypont, Térfogat, Tetraéderek, Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Adott az $A B C D$ tetraéder. A $D$ csúcsot kössük össze az $A B C$ lap $D_{1}$ súlypontjával. A $D D_{1}$ egyenessel az $A$ , $B$ , ill. $C$ csúcson át húzott párhuzamosok a csúcsokkal szemben levő oldallapok síkját rendre az $A_{1}$ , $B_{1}$ , ill. $C_{1}$ pontban metszik. Bizonyítsuk be, hogy az $A B C D$ tetraéder térfogata harmadrésze az $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ tetraéder térfogatának. Érvényes-e a kapott eredmény akkor is, ha a $D_{1}$ pontot tetszőlegesen vesszük fel az $A B C$ háromszög belsejében?