Adott a síkban az $O$ pont és a rajta átmenő, egymástól különböző $x\mathrm{,}y$ és $e$ egyenesek. Az $x$ egyenes pontjai között bevezetünk egy $\oplus$ műveletet. Ha $P$ és $Q$ az $x$ pontjai, akkor a $P\oplus Q$ pontot a következő eljárással kapjuk: a $P$-n átmenő, $y$-nal párhuzamos egyenes és $e$ metszéspontja legyen $A$. Az $A$-n átmenő, $x$-szel párhuzamos egyenes és $y$ metszéspontja legyen $B$. A $B$-n átmenő, $e$-vel párhuzamos egyenes és a $Q$-n átmenő, $y$-nal párhuzamos egyenes metszéspontja legyen $C$. A $C$-n átmenő, $x$-szel párhuzamos egyenes és $e$ metszéspontja legyen $D$. Végül a $D$-n átmenő, $y$-nal párhuzamos egyenes és $x$ metszéspontja legyen $P\oplus Q$. Mutassuk meg, hogy az $x$ egyenes tetszőleges $P$, $Q$, $R$ pontjai esetén
$a)O\oplus P=P$,
$b)P\oplus Q=Q\oplus P$,
$c)\left(P\oplus Q\right)\oplus R=P\oplus \left(Q\oplus R\right)\mathrm{.}$