Kezdőlap


Feladat:	886. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Kitűző(k):	Molnár Ferenc
Füzet:	1958/február, 63. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Poliéderek hasonlósága, Térfogat, Tetraéderek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok megoldásai: 1958/november: 886. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a tetraéder $A$ , $B$ , $C$ , $D$ csúcsaival szemközti lapokat kívülről érintő gömbök sugarait rendre $ϱ_{1}$ , $ϱ_{2}$ , $ϱ_{3}$ , $ϱ_{4}$ -gyel, a tetraéder $A B$ , $A C$ , $A D$ , ill. a velük szemközti élekhez tartozó ,,vályuszerű térrészekben'' levő külső érintő gömbök sugarait rendre $ϱ_{12}$ , $ϱ_{13}$ , $ϱ_{14}$ -gyel, az $A$ , $B$ , $C$ , $D$ csúcsokból húzott testmagasságok hosszát $m_{1}$ , $m_{2}$ , $m_{3}$ , $m_{4}$ -gyel. Bizonyítsuk be, hogy fennállnak a következő összefüggések:

\begin{matrix} a) & \pm \frac{2}{ϱ_{12}} = \frac{1}{ϱ_{1}} + \frac{1}{ϱ_{2}} + \frac{1}{ϱ_{3}} + \frac{1}{ϱ_{4}}, \\ b) & \pm \frac{1}{ϱ_{12}} = \frac{1}{m_{3}} + \frac{1}{m_{4}} + \frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_{2}} . \end{matrix}

(Hasonlóan

ϱ_{13}, ϱ_{14}

-re.)