Kezdőlap


Feladat:	878. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Kitűző(k):	Molnár Ferenc
Füzet:	1958/január, 30. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Poliéderek hasonlósága, Beírt gömb, Térfogat, Tetraéderek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok megoldásai: 1958/november: 878. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a tetraéder beírt gömbjének sugarát $ϱ$ -val, a tetraéder $A$ , $B$ , $C$ , $D$ csúcsaival szemközti lapokat kívülről érintő gömbök sugarait rendre $ϱ_{1}$ , $ϱ_{2}$ , $ϱ_{3}$ , $ϱ_{4}$ -gyel, az $A$ , $B$ , $C$ , $D$ csúcsokból a szemközti lapokra bocsátott magasságvonalak hosszát $m_{1}$ , $m_{2}$ , $m_{3}$ , $m_{4}$ -gyel. Bizonyítsuk be, hogy fennállnak a következő összefüggések:

\begin{matrix} a) & \frac{2}{ϱ} = \frac{1}{ϱ_{1}} + \frac{1}{ϱ_{2}} + \frac{1}{ϱ_{3}} + \frac{1}{ϱ_{4}}, \\ b) & \frac{1}{ϱ} = \frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_{2}} + \frac{1}{m_{3}} + \frac{1}{m_{4}}, \\ c) & \frac{1}{ϱ_{1}} = - \frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_{2}} + \frac{1}{m_{3}} + \frac{1}{m_{4}} . \end{matrix}

(Hasonló összefüggések találhatók

\frac{1}{ϱ_{2}}

\frac{1}{ϱ_{3}}

\frac{1}{ϱ_{4}}

-re.)