Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.43	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1969/október, 77. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Cauchy-Schwarz-Bunyakovszkij-féle egyenlőtlenség, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok megoldásai: 1970/április: Pontversenyen kívüli P.43

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Bizonyítsuk be, hogy ha fennállnak a (1) egyenlőtlenségek, akkor fennáll a (2) egyenlőtlenség is. Állapítsuk meg annak szükséges és elégséges feltételét is, hogy (2)-ban az egyenlőség jele legyen érvényes.

\begin{matrix} x_{1} > 0, x_{2} > 0, x_{1} y_{1} - z_{1}^{2} > 0, x_{2} y_{2} - z_{2}^{2} > 0; & (1) \\ \frac{8}{(x_{1} + x_{2}) (y_{1} + y_{2}) - {(z_{1} + z_{2})}^{2}} \leq \frac{1}{x_{1} y_{1} - z_{1}^{2}} + \frac{1}{x_{2} y_{2} - z_{2}^{2}} . & (2) \end{matrix}