Kezdőlap


Feladat:	1583. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1968/január, 29. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Koordináta-geometria, Alakzatok súlypontja (tömegközéppontja), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok megoldásai: 1968/november: 1583. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az ( $x$ , $y$ , $z$ , $u$ ) rendezett számnégyest (vagyis amelyben a négy szám sorrendje is lényeges) szokás az úgynevezett négydimenziós tér egy pontjának nevezni, $x$ , $y$ , $z$ , $u$ rendre az első, második, harmadik, ill. negyedik koordinátája a pontnak⁵.

Legyen adva a négydimenziós tér 5 különböző pontja:

P_{i} (x_{i}, y_{i}, z_{i}, u_{i})

, ahol

i = 1

, 2, 3, 4, 5. Két pont ‐ mondjuk

P_{i}

és

P_{j}

távolságán,

P_{i} P_{j}

-n az

\begin{matrix} {(x_{i} - x_{j})}^{2} + {(y_{i} - y_{j})}^{2} + {(z_{i} - z_{j})}^{2} + {(u_{i} - u_{j})}^{2} \end{matrix}

(1)

szám pozitív négyzetgyökét értjük. Több pontból álló alakzat súlypontján azt a pontot értjük, a melynek minden egyes koordinátája az alakzat pontjainak megfelelő koordinátájából képezett számtani közép, pl. a

P_{1} P_{2} P_{3} P_{4}

alakzat

S

súlypontjának első koordinátája

\begin{matrix} x_{S} = (x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}) / 4. \end{matrix}

(2)

Bizonyítandó, hogy a

P_{5} S

távolság négyzete az adott pontokból alakítható párok távolsága négyzetével az alábbiak szerint fejezhető ki:

\begin{matrix} P_{5} S^{2} & = \frac{1}{4} (P_{5} P_{1}^{2} + P_{5} P_{2}^{2} + P_{5} P_{3}^{2} + P_{5} P_{4}^{2}) - & (3) \\ - \frac{1}{16} (P_{1} P_{2}^{2} + P_{1} P_{2}^{2} + P_{1} P_{4}^{2} + P_{2} P_{3}^{2} + P_{2} P_{4}^{2} + P_{3} P_{4}^{2}) . \end{matrix}

Hozzuk kapcsolatba az állítást az 1121. gyakorlat megállapításaival. (K. M. L. 35 (1967) 216. o.)

⁵Szemlélhető jelentést nem tulajdonítunk az elnevezésnek, ugyanígy a következőknek sem.