Kezdőlap


Feladat:	1504. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1966/december, 224. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tengely körüli forgatás, Transzformációk szorzata, Szabályos tetraéder, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok megoldásai: 1968/május: 1504. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ismeretes, hogy a szabályos tetraédernek 7 olyan tengelye van, amely körüli alkalmas szögű forgatással önmagába megy át: a 4 magasságvonal, $120^{\circ}$ -os és $240^{\circ}$ -os forgatással, valamint a szemben fekvő élek felezőpontjait összekötő 3 egyenes, $180^{\circ}$ -os forgatásokkal.

Tekintsük forgatásnak a

0^{\circ}

-os forgatást is, vagyis azt, ha a tetraéder helyzetét változatlanul hagyjuk. Mutassuk meg, hogy bármelyik két forgatást egymás után végrehajtva van olyan egyetlen forgatás, amely a tetraédert ugyanebbe a helyzetbe viszi. (Jelöljük az ábrabeli

F

B

K

J

csúcson átmenő tengely körüli

i \cdot 120^{\circ}

szögű forgatásokat (

i = 1

2

) rendre

f_{i}

b_{i}

k_{i}

j_{i}

betűvel, az

F B

F K

F J

él felezőpontján átmenő tengely körüli forgatást rendre

b

k

j

betűvel, a helyben maradást 1-gyel, és készítsünk egy 12 sorra és 12 oszlopra osztott táblázatot, első sorában és első oszlopában az 1,

b

k

j

f_{1}

b_{1}

k_{1}

j_{1}

f_{2}

b_{2}

k_{2}

j_{2}

jelekkel, további mezőin pedig annak a forgatásnak a jelével, amely egy csapásra állítja elő a tetraédernek azt a helyzetét, amely adódik, ha azon előbb a sor elején álló, majd az oszlop fején álló forgatást hajtjuk végre. Használhatjuk az 1432. feladat megoldásában^{$^{*}$} előfordult jelöléseket is.)

^{$^{*}$}Lásd K. M. L. 33 (1966. nov.) 124. o.