Kezdőlap


Feladat:	1408. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Kitűző(k):	Fehér János
Füzet:	1965/szeptember, 30. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gráfelmélet, Kombinatorikai leszámolási problémák, Teljes indukció módszere, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok megoldásai: 1967/november: 1408. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A síkban $n (\geq 3)$ egyenes páronként metszi egymást, de nincs az összesnek egy közös pontja. Jelöljük a metszéspontok számát $M$ -mel, az egyes egyeneseken levő metszéspontok számát $R_{1}$ , $R_{2}$ , $...$ , $R_{n}$ -nel, az egyes metszéspontokon átmenő egyenesek számát $r_{1}$ , $r_{2}$ . $...$ , $r_{M}$ -mel. Az utóbbiakat a pontok rendjének fogjuk nevezni. Bizonyítsuk be a következőket:
a) Tetszés szerinti egyenesünkön a páros rendű pontok száma páros, ha $n$ páratlan, és páratlan, ha $n$ páros.

\begin{matrix} b) (r_{1} - 1) r_{1} + (r_{2} - 1) r_{2} + ... + (r_{M} - 1) r_{M} = (n - 1) n; \\ c) R_{1} + R_{2} + ... + R_{n} = r_{1} + r_{2} + ... + r_{M}; \\ d) r_{1} + r_{2} + ... + r_{M} \geq 2 n + M - 3; \\ e) R_{1} + R_{2} + ... + R_{n} \geq 3 n - 3; \\ f) \frac{R_{1} + R_{2} + ... + R_{n}}{n} \geq \frac{r_{1} + r_{2} + ... + r_{M}}{M} . \end{matrix}