Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.67	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1970/április, 174. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Determinánsok további alkalmazásai, Polinomok szorzattá alakítása, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok megoldásai: 1971/január: Pontversenyen kívüli P.67

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ , $x_{4}$ számnégyest harmonikus csoportnak nevezzük, ha teljesül $(x_{1} - x_{3}) (x_{2} - x_{4}) + (x_{2} - x_{3}) (x_{1} - x_{4}) = 0$ . Bizonyítandó a következő állítás.
Annak szükséges és elegendő feltétele, hogy az

\begin{matrix} a x^{4} + 4 b x^{3} + 6 c x^{2} + 4 d x + e = 0 \end{matrix}

(a \neq 0)

egyenlet gyökei ‐ alkalmas sorrendbe szedve ‐ harmonikus csoportot alkossanak, az, hogy az alábbi determináns értéke 0 legyen.

\begin{matrix} \begin{matrix} a & b & c \\ b & c & d \\ c & d & e \end{matrix} \end{matrix}