Kezdőlap


Feladat:	390. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Kitűző(k):	Aczél János , Surányi János
Füzet:	1951/december, 219. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenségek, Függvényvizsgálat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok megoldásai: 1952/április: 390. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Bizonyítsuk be, hogy az $F (x, y) = \sqrt[]{x y}$ függvény konkáv, a ${log}_{}^{} (a^{x} + a^{y})$ függvény konvex, az $x_{1}^{q_{1}} x_{2}^{q_{2}}$ és általában az $x_{1}^{q_{1}} x_{2}^{q_{2}} ... x_{n}^{q_{n}}$ függvény konkáv ( $q_{1}$ , $q_{2}$ ill. $q_{1}, q_{2}, ..., q_{n}$ adott pozitív számok, melyekre $q_{1} + q_{2} = 1$ ill. $q_{1} + q_{2} + ... + q_{n} = 1$ és az $x_{1}$ , $x_{2}$ ill. $x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}$ változók csak pozitív értéket vehetnek fel.)
Bizonyítsuk be az

\begin{matrix} {(x_{1}^{(1)} + x_{1}^{(2)} + ... + x_{1}^{(k)})}^{q_{1}} {(x_{2}^{(1)} + x_{2}^{(2)} + ... + x_{2}^{(k)})}^{q_{2}} ... \\ ... {(x_{n}^{(1)} + x_{n}^{(2)} + ... + x_{n}^{(k)})}^{q_{n}} ≧ x_{1}^{(1) q_{1}} x_{2}^{(1) q_{2}} ... x_{n}^{(1) q_{n}} + \\ + x_{1}^{(2) q_{1}} x_{2}^{(2) q_{2}} ... x_{n}^{(2) q_{n}} + ... + x_{1}^{(k) q_{1}} x_{2}^{(k) q_{2}} ... x_{n}^{(k) q_{n}} & (1) \end{matrix}

egyenlőtlenséget.