Kezdőlap


Feladat:	387. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Kitűző(k):	Aczél János , Surányi János
Füzet:	1951/december, 217. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenségek, Függvényvizsgálat, Jensen-féle egyenlőtlenség, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok megoldásai: 1952/április: 387. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mutassuk meg, hogy egy $f (x)$ függvény akkor és csakis akkor konvex, ha megvan a következő tulajdonsága: valahányszor $u_{1}, u_{2}, ..., u_{k}$ , $v_{1}, v_{2}, ..., v_{k}$ olyan számok, melyekre

\begin{matrix} u_{1} ≧ u_{2} ≧ ... ≧ u_{k}; \end{matrix}

és

\begin{matrix} u_{1} < v_{1}, u_{1} + u_{2} < v_{1} + v_{2}, ..., \\ u_{1} + u_{2} + ... + u_{k - 1} < v_{1} + v_{2} + ... + v_{k - 1}, & (18) \end{matrix}

\begin{matrix} u_{1} + u_{2} + ... + u_{k} = v_{1} + v_{2} + ... + v_{k} \end{matrix}

akkor

\begin{matrix} f (u_{1}) + f (u_{2}) + ... + f (u_{k}) < f (v_{1}) + f (v_{2}) + ... + f (v_{k}) . \end{matrix}

(19)

(Az állítás első felének bizonyításához felhasználhatjuk a 386. feladat eredményét, a második felére pedig abból következtethetünk, hogy a fenti egyenlőtlenség alkalmas helyettesítéssel a szimmetrikus Jensen-egyenlőtlenségbe megy át).