Kezdőlap


Feladat:	386. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Kitűző(k):	Aczél János , Surányi János
Füzet:	1951/december, 216 - 217. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenségek, Függvényvizsgálat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok megoldásai: 1952/április: 386. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $f (x)$ konvex függvény, legyen $u_{1} ≧ u_{2} ≧ ... ≧ u_{k}$ és $v_{1} ≧ v_{2} ≧ ... ≧$ $≧ v_{k}$ ; vezessük be a

\begin{matrix} D_{1} = \frac{f (v_{1}) - f (u_{1})}{v_{1} - u_{1}}, D_{2} = \frac{f (v_{2}) - f (u_{2})}{v_{2} - u_{2}}, ..., D_{k} = \frac{f (v_{k}) - f (u_{k})}{v_{k} - u_{k}} \end{matrix}

(13)

továbbá az

\begin{matrix} U_{1} = u_{1}, U_{2} = u_{1} + u_{2}, ..., U_{k} = u_{1} + u_{2} + ... + u_{k} \end{matrix}

és

\begin{matrix} V_{1} = v_{1}, V_{2} = v_{1} + v_{2}, ..., V_{k} = v_{1} + v_{2} + ... + v_{k} \end{matrix}

(14)

jelöléseket. Legyen

\begin{matrix} U_{1} < V_{1}, U_{2} < V_{2}, ..., U_{k - 1} < V_{k - 1}, de U_{k} = V_{k} . \end{matrix}

(15)

Mutassuk meg, hogy ekkor

\begin{matrix} U_{1} (D_{1} - D_{2}) + U_{2} (D_{2} - D_{3}) + ... + U_{k - 1} (D_{k - 1} - D_{k}) + \\ + U_{k} D_{k} < V_{1} (D_{1} - D_{2}) + V_{2} (D_{2} - D_{3}) + ... + \\ + V_{k - 1} (D_{k - 1} - D_{k}) + V_{k} D_{k} & (16) \end{matrix}

és

\begin{matrix} u_{1} D_{1} + u_{2} D_{2} + ... + u_{k} D_{k} < v_{1} D_{1} + v_{2} D_{2} + ... + v_{k} D_{k} \end{matrix}

(17)