Kezdőlap


Feladat:	382. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Kitűző(k):	Aczél János , Surányi János
Füzet:	1951/december, 215. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvényvizsgálat, Bernoulli-féle egyenlőtlenség, Jensen-féle egyenlőtlenség, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok megoldásai: 1952/április: 382. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $P_{1}$ , $P_{2}$ , $P_{3}$ három pont a görbén, amik abszcisszái, $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ ebben a sorrendben következnek nagyság szerint. Akkor a konvex görbéket jellemzi az is, hogy $P_{1} P_{2}$ húr a $P_{1} P_{3}$ húr alatt fut.

Jellemzi, ezen azt értjük, hogy minden konvex görbének megvan az a tulajdonsága, de megfordítva is, ha egy görbe bármely három pontjára teljesül a fenti tulajdonság; akkor a görbe konvex. Hasonlóan jellemző a konvex görbékre az is, hogy a

P_{2} P_{3}

húr a

P_{1} P_{3}

húr alatt van, végül az is, hogy a

P_{1} P_{2}

húr meghosszabbítása a

P_{2} P_{3}

húr alatt fut.
Fejezzük ki ezeket a tulajdonságokat az algebra nyelvén. Van-e valamilyen kapcsolat a nyert egyenlőtlenségek közt? Bizonyítsuk be a szemlélet felhasználása nélkül, hogy ezek az egyenlőtlenségek akkor és csakis akkor teljesülnek, ha teljesül a kéttagú súlyozott Jensen-egyenlőtlenség. (Gondoljunk vissza az utóbbi levezetésére is.)