Mutassuk meg, hogy az $a^{x^2}$ függvény konvex, felhasználva, hogy $a^x$ és $x^2$ konvex függvények. Azt mondjuk, hogy egy $h\left(x\right)$ függvény az $f\left(x\right)$ és $g\left(x\right)$ függvények összetétele, ha a $h$ függvény értékeit megkaphatjuk úgy, hogy az $f$ függvény értékeit számítjuk ki, de nem az $x$ helyen, hanem mindig arra az értékre, amelyet a $g$ függvény vesz fel az $x$ helyen, tehát $h\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right)$. Természetesen az $f$ és $g$ sorrendje lényeges. Röviden azt is mondjuk, hogy $h\left(x\right)$ a $g$ függvény $f$ függvénye. Bizonyítsuk be, hogy ha egy függvény egy konvex függvénynek konvex és növekedő függvénye, akkor maga is konvex függvény.