Kezdőlap


Feladat:	347. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Kitűző(k):	Aczél János , Surányi János
Füzet:	1951/november, 126. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Jensen-féle egyenlőtlenség, Feladat
Hivatkozás(ok):	1951/december: Egyenlőtlenségek (4) Feladatok megoldásai: 1951/december: 347. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Bizonyítsuk be, hogy, ha $n$ pozitív egész szám, akkor

\begin{matrix} \frac{{({x_{1}}^{n} + {x_{2}}^{n})}^{n + 1}}{{({x_{1}}^{n - 1} + {x_{2}}^{n - 1})}^{n}} \leq \frac{{({x_{1}}^{n + 1} + {x_{2}}^{n + 1})}^{n}}{{({x_{1}}^{n} + {x_{2}}^{n})}^{n - 1}} . \end{matrix}

A (közönséges)

n

-edik hatványközépen értjük az

\sqrt[n]{\frac{{x_{1}}^{n} + {x_{2}}^{n}}{2}}

értéket. Mutassuk meg, bogy az

n

-edik hatványközép kisebb az

n + 1

-ediknél. Mutassuk meg ugyanezt a súlyozott hatványközepekre is (a gyök alatt a hatványok számtani közepe helyett súlyozott számtani közepet véve).