Feladat: 339. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Kitűző(k):  Aczél János ,  Surányi János 
Füzet: 1951/november, 125. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Jensen-féle egyenlőtlenség, Feladat
Hivatkozás(ok):1951/december: Egyenlőtlenségek (4) Feladatok megoldásai: 1951/december: 339. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Bizonyítsuk be, hogy ha egy függvény kielégíti a (2) kéttagú szimmetrikus Jensen-egyenlőtlenséget, akkor teljesül a négytagú, a nyolctagú, általában a 2j tagú szimmetrikus Jensen-egyenlőtlenség is (j=2, 3, 4,...).

f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2.(2)

Tetszésszerinti x1, x2, ..., xn számokhoz határozzuk meg azt az y-t, amelyet még hozzávéve a számokhoz, az így kapott n+1 szám számtani közepe ugyanaz maradjon, ami az eredeti n számé volt. Bizonyítsuk be, hogy ha egy függvényre teljesül valamilyen tagszámú szimmetrikus Jensen-egyenlőtlenség, akkor teljesül minden kisebb tagszámú is. *
*A két eredmény együtt azt adja, hogy ha egy függvényre teljesül a kéttagú szimmetrikus Jensen-egyenlőtlenség, akkor teljesül bármilyen k-ra a k-tagú is. A feladatból adódó rendkívül szellemes és elegáns bizonyítás Cauchy (ejtsd: Kósi) múlt századbeli kiváló francia matematikustól ered. Az ő nevével gyakran fog találkozni, aki alaposabban meg akar ismerkedni a matematikával.
Ennek az eredménynek sok más bizonyítása is ismeretes. Még egyet feladunk, ami egy lépésben adja a bizonyítását.