A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Bizonyítsuk be, hogy ha egy függvény kielégíti a (2) kéttagú szimmetrikus Jensen-egyenlőtlenséget, akkor teljesül a négytagú, a nyolctagú, általában a tagú szimmetrikus Jensen-egyenlőtlenség is (, 3, 4,). | | (2) |
Tetszésszerinti , , , számokhoz határozzuk meg azt az -t, amelyet még hozzávéve a számokhoz, az így kapott szám számtani közepe ugyanaz maradjon, ami az eredeti számé volt. Bizonyítsuk be, hogy ha egy függvényre teljesül valamilyen tagszámú szimmetrikus Jensen-egyenlőtlenség, akkor teljesül minden kisebb tagszámú is. A két eredmény együtt azt adja, hogy ha egy függvényre teljesül a kéttagú szimmetrikus Jensen-egyenlőtlenség, akkor teljesül bármilyen -ra a -tagú is. A feladatból adódó rendkívül szellemes és elegáns bizonyítás Cauchy (ejtsd: Kósi) múlt századbeli kiváló francia matematikustól ered. Az ő nevével gyakran fog találkozni, aki alaposabban meg akar ismerkedni a matematikával. Ennek az eredménynek sok más bizonyítása is ismeretes. Még egyet feladunk, ami egy lépésben adja a bizonyítását. |