Kezdőlap


Feladat:	315. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Kitűző(k):	Aczél János , Surányi János
Füzet:	1951/augusztus, 69 - 70. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Hatványközepek közötti egyenlőtlenség, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok megoldásai: 1951/november: 315. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

315. Legyen $p_{1}$ és $p_{2}$ pozitív szám, $q_{1} = \frac{p_{1}}{p_{1} + p_{2}}$ , $q_{2} = \frac{p_{2}}{p_{1} + p_{2}}$ (tehát $q_{1} + q_{2} = 1$ ). Nevezzük az $x_{1}$ , $x_{2}$ számok $p_{1}$ és $p_{2}$ , ill. $q_{1}$ és $q_{2}$ súlyokkal súlyozott számtani-, négyzetes-, illetőleg harmonikus közepének sorra a

\begin{matrix} \frac{p_{1} x_{1} + p_{2} x_{2}}{p_{1} + p_{2}} = q_{1} x_{1} + q_{1} x_{2}; \sqrt[]{\frac{p_{1} x_{1}^{2} + p_{2} x_{2}^{2}}{p_{1} + p_{2}}} = \sqrt[]{q_{1} x_{1}^{2} + q_{2} x_{2}^{2}}; \\ \frac{p_{1} + p_{2}}{\frac{p_{1}}{x_{1}} + \frac{p_{2}}{x_{2}}} = \frac{1}{\frac{\frac{p_{1}}{x_{1}} + \frac{p_{2}}{x_{2}}}{p_{1} + p_{2}}} = \frac{1}{\frac{q_{1}}{x_{1}} + \frac{q_{2}}{x_{2}}} \end{matrix}

kifejezéseket. Bizonyítsuk be, hogy a súlyozott harmonikus közép nem lehet nagyobb, mint a súlyozott számtani közép, ez pedig nem nagyobb a súlyozott négyzetes középnél. Mikor lehetnek egyenlők?
Írjuk fel a megfelelő egyenlőtlenségeket, ha

p_{1} = p_{2}

(q_{1} = q_{2})