Kezdőlap


Feladat:	312. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Kitűző(k):	Aczél János , Surányi János
Füzet:	1951/augusztus, 69. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Jensen-féle egyenlőtlenség, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok megoldásai: 1951/november: 312. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az $X$ tengely két adott pontjának koordinátája $x_{1}$ és $x_{2}$ . Mutassuk meg, hogy bármely köztük levő pont alkalmas pozitív $p_{1}$ és $p_{2}$ számokkal felírható

\begin{matrix} \frac{p_{1} x_{1} + p_{2} x_{2}}{p_{1} + p_{2}} \end{matrix}

(B)

alakban. Áttekinthetőbbé válik a kifejezés, ha

\frac{p_{1}}{p_{1} + p_{2}}

-t

q_{1}

-gyel

\frac{p_{2}}{p_{1} + p_{2}}

-t

q_{2}

vel jelöljük. Ekkor a pont így is írható:

\begin{matrix} q_{1} x_{1} + q_{2} x_{2} \end{matrix}

'

)

ahol

q_{1}

és

q_{2}

pozitív és

q_{1} + q_{2} = 1

.
Hogyan írható fel egy

f (x)

függvény görbéjének

x_{1}

és

x_{2}

abszcisszájú pontjai közötti húrján (B) ill. (B

'

) abszcisszájú pont ordinátája?
Írjuk le a konvexséget kifejező fenti tulajdonságot a függvényre vonatkozó egyenlőtlenség alakjában.
A nyerendő egyenlőtlenséget nevezik Jensen-egyenlőtlenségnek. Ha ebben

q_{1} = q_{2} (= \frac{1}{2})

ill.

p_{1} = p_{2}

, akkor kapjuk a szimmetrikus Jensen-egyenlőtlenséget.