Kezdőlap


Feladat:	1420. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1965/november, 157. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok megoldásai: 1966/november: 1420. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az 1330. és 1403. feladatok

\begin{matrix} x^{3} - x^{2} - 6 x + 2 = 0 és & (1) \\ x^{3} - 13 x^{2} + 40 x - 4 = 0 & (2) \end{matrix}

egyenleteihez kapcsolódva írjuk fel egymás után az alábbi tulajdonságú (I), (II) és (III) harmadfokú egyenletet,

x^{3}

együtthatóját mindig

1

-nek véve. ‐
Az (I) egyenlet gyökei rendre egyenlők (2) gyökeinek négyzetével, más szóval (1) gyökeinek 4. hatványával. ‐
A (II) egyenlet gyökei rendre egyenlők az (I) gyökeinek négyzetével, más szóval (1) gyökeinek 8. hatványával.
A (III) gyökei hasonlóan rendre egyenlők (1) gyökeinek 16. hatványával. (Az egyre növekvő együtthatókat normálalakjukban írjuk fel, elég meghatározni első 4 értékes jegyüket.)
(III)-ban

x^{2}

x

együtthatóját és az

x

-től mentes tagot rendre

A

-val,

B

-vel, ill.

C

-vel jelölve mutassuk meg, hogy (1) gyökeinek abszolút értékére jó közelítő értéket ad a következő három szám:

\begin{matrix} \sqrt[16]{- A}, \sqrt[16]{- B / A}, \sqrt[16]{- C / B}, \end{matrix}

(3)

vagyis hogy mindegyik érték vagy maga, vagy a negatívja közelítőleg kielégíti (1)-et.
Milyen nagyságviszony áll fenn az így egymás után kapott gyökök abszolút értékei között?