Kezdőlap


Feladat:	1345. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Kitűző(k):	Nagy Ferenc
Füzet:	1964/november, 156 - 157. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mértani sorozat, Számsorozatok, Szorzat, hatvány számjegyei, Teljes indukció módszere, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok megoldásai: 1965/november: 1345. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsük azt a számsorozatot, melynek első két tagja: $a_{1} = a_{2} = 1$ , további tagjait pedig a

\begin{matrix} a_{n} = 2 a_{n - 2} + a_{n - 1} \end{matrix}

(1)

kifejezésből számíthatjuk, ahol

n \geq 3

, egész szám. Jelöljük a sorozat első

k

tagjának összegét

S_{k}

-val, és vizsgáljuk, helyesek-e a következő összefüggések, állítások:

\begin{matrix} {\begin{matrix} (2) S_{2 k - 1} = a_{2 k}, (3) S_{2 k} = a_{2 k + 1} - 1, (4) S_{k} - S_{k - 4} = 10 \cdot 2^{k - 4} \\ (5) S_{k} = 10 \cdot \frac{2^{k} - 1}{2^{4} - 1}; \\ (6) a_{k} = 2 a_{k - 1} + {(- 1)}^{k - 1}, (7) a_{k} + a_{k + 1} = 2^{k}, (8) a_{k} - a_{k - 4} = 10 \cdot 2^{k - 5} . \end{matrix} \end{matrix}

4 j + 1

és

4 j + 2

sorszámú tagok

1

-es, a

4 j + 3

sorszámúak

3

-as, a

4 j

sorszámúak

5

-ös jegyre végződnek.
Adjunk az igaznak talált összefüggések alapján

a_{n}

-re olyan kifejezést, amely nem használ fel a sorozatból korábbi tagokat.