Feladat: 1323. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 1964/május, 221. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Racionális számok és tulajdonságaik, Algebrai átalakítások, Periodikus sorozatok, Szakaszos tizedestörtek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok megoldásai: 1965/április: 1323. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Gondoljuk magunk elé azt az eljárást, amellyel előállítanók az 1/491 hányados szakaszos tizedes tört alakjának első szakaszát. Bizonyítsuk be, hogy ha a számítás közben egy r részletmaradék kisebb 246-nál, akkor az osztás során 13 lépéssel előre haladva a maradék 2r. (Egy lépésen a hányados egy számjegyének megállapítását értjük a szükséges mellékszámításokkal.)
2. Mit mondhatunk a 13 lépéssel későbbi részletmaradékról, ha r>245 ?
3. Bizonyítsuk be, hogy ha az r részletmaradék osztható 9-cel, akkor a 10 lépéssel későbbi részletmaradék r/9.
4. Hány számjegyből áll a szakasz1 az 1/491 hányados átalakításában ?
5. Bizonyítsuk be, hogy a csupa egyenlő jeggyel írt, 1964-gyel osztható számok legkisebbike a 490db 4-essel írt szám.

1Bizonyítás nélkül felhasználható a következő tétel: ha p törzsszám (p≠2,5), akkor az 1/p tört szakaszában a számjegyek száma osztója p-1-nek. (Lásd pl.: H. Rademacher ‐ O. Töplitz: Számokról és alakzatokról (Középisk. Szakköri Füzet, Tankönyvkiadó, Budapest, 1954) 144. o.