Kezdőlap


Feladat:	1257. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1963/szeptember, 28 - 29. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenletrendszerek grafikus megoldása, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Egyenesek egyenlete, Sík egyenlete, Térelemek és részeik, Ellenpélda, mint megoldási módszer a matematikában, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok megoldásai: 1965/február: 1257. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Valaki az

\begin{matrix} x + y + 16 z & = 18, & (1) \\ x - 3 y + 8 z & = 6, & (2) \\ 2 x - y - 4 z & = - 33 & (3) \end{matrix}

egyenletrendszer megoldását a következő grafikus eljárással készítette elő. Az egyenletekbe

z = 0

-t helyettesített, és a nyert három kétismeretlenes egyenletet ábrázolta a derékszögű koordinátarendszerben. Az egyeneseket rendre

a_{0}

b_{0}

c_{0}

-lal, páronkénti metszéspontjaikat rendre

C_{0}

A_{0}

B_{0}

-lal jelölte. Ezután

z = 1

helyettesítéssel megismételte eljárását, így kapta az

a_{1}

b_{1}

c_{1}

egyeneseket és a

C_{1}

A_{1}

B_{1}

pontokat. Most megrajzolta az

A_{0} A_{1}

B_{0} B_{1}

C_{0} C_{1}

egyeneseket, azt találta, hogy ezek egy

M

pontban metszik egymást. Azt állítja, hogy

M

koordinátái adják a rendszer megoldásában

x

és

y

értékét, és hogy most már csak

z

értékét kell kiszámítania.
‐ Mutassak meg, hogy az illető eljárása általában helyes.¹
‐ Vázoljunk továbbá olyan eseteket ‐ megfelelő egyenletrendszer megadásával ‐, amelyekben az eljáráshoz további megjegyzéseket kell fűznünk.

¹Felhasználhatjuk bizonyítás nélkül a következőket: 1) egy háromismeretlenes elsőfokú egyenletnek a térbeli derékszögű koordinátarendszerben egy sík felel meg; 2) ha két különböző síknak van közös pontja, akkor egy egyenesben metszik egymást; 3) egyenesnek síkon levő vetülete általában egyenes.