a) Tekintsük azoknak az ötjegyű természetes számoknak a négyzetét, amelyeknek első négy jegye $3$-as, utolsó jegye pedig tetszés szerinti. Mutassuk meg, hogy mindegyik négyzetben van két csupa egyenlő, egymás utáni jegyből álló, legalább kéttagú számjegy sorozat. Mi ennek a magyarázata? Ugyanez áll akkor is, ha az első négy jegy $6$-os, vagy $9$-es. Mikor van két legalább háromtagú ilyen sorozat?
b) Általában minden $33\text{...}3j$ alakú, $k+1$ jegyű szám négyzetében ($k\ge 4$, és $j$ tetszés szerinti jegy) van két csupa egyenlő, egymás utáni jegyből álló, legalább $k-2$ tagú számjegysorozat.
(I. osztályosoktól teljes értékű dolgozatnak fogadjuk el csupán az a) rész bizonyítását is.)
A 665. gyakorlathoz lásd az 1960. évi Arany Dániel verseny, kezdők versenye II. forduló­jának 1. feladatát a novemberi számban.