Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.110	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1971/szeptember, 30. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenségek, Határozatlan integrál, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok megoldásai: 1975/április: Pontversenyen kívüli P.110

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsük azokat az $f (x)$ függvényeket, amelyek a $(0,1)$ intervallumban vannak értelmezve, pozitívak, integrálhatók, integráljuk értéke a $(0,1)$ szakaszon $1$ és alulról konkávok. (Ez az utóbbi feltétel azt jelenti, hogy bármilyen $0 \leq x_{1} < x_{2} \leq 1$ és $0 \leq λ \leq 1$ mellett

\begin{matrix} f (λ x_{1} + (1 - λ) x_{2}) \geq λ f (x_{1}) + (1 - λ) f (x_{2}) \end{matrix}

(1)

teljesül.)
Milyen értékeket vehet fel ezeknek a függvényeknek a körében a következő integrál?

\begin{matrix} \int_{0}^{1} f^{2} (x) d x . \end{matrix}

(2)