Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.374	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1983/február, 78. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hol a hiba?, Pontversenyen kívüli probléma, Hossz, kerület, Síkgeometriai bizonyítások

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Keressük meg a (nem javítható) hibát ebben a bizonyításban! Milyen hallgatólagos feltételt használt fel a bizonyításban a szerző ?
Adott egy folytonos ${A B}_{}^{⌢}$ görbe, amelynek $A$ pontjában van érintője.

Be akarjuk látni, hogy ha a görbe

C

pontja közeledik az

A

ponthoz, akkor az

{A C}_{}^{⌢}

ívhossz és az

A C

szakaszhossz aránya 1-hez tart. Newton a Principa c.művében erre lényegében a következőket mondja (Newton: A Principából és az Optikából, Kriterion, Bukarest, 1981,86. old.). Foglaljuk be az

{A B}_{}^{⌢}

görbét egy

A B D

háromszögbe, ahol

A D

a görbe A pontbeli érintője (I. az ábrát). Az

A C

egyenes messe a

B D

szakaszt a

C'

pontban. Nagyítsuk ki az

{A C}_{}^{⌢}

ívet az

A

pont ból úgy, hogy a

C

pont a

C'

pontba kerüljön. Ekkor az

{A C'}_{}^{⌢}

ívhossz és az

A C'

szakaszhossz aránya megegyezik az

{A C'}_{}^{⌢}

ívhossz és az

A C

szakasz arányával. Az

{A C'}_{}^{⌢}

ív benne van az

A D C'

háromszögben, tehát az

{A C'}_{}^{⌢}

ívhossz kisebb

A D + D C'

-nél, és a háromszög egyenlőtlenség szerint

A D ≦ A C' + D C'

.Tehát

\begin{matrix} A C' ≦ {A C'}_{}^{⌢} ≦ A C' + 2 D C' . \end{matrix}

C

közeledik

A

-hoz, akkor az

A C

egyenes közeledik az

A D

érintőhöz,

C'

tehát közeledik

D

-hez. így a

D C'

szakasz

0

-hoz tart. Tehát az

{A C'}_{}^{⌢} / A C'

arány (s így a vele egyenlő .

{A C'}_{}^{⌢} / A C

arány is)

1

-hez tart.