Két sorozatot definiálunk: az elsőnek $3$, a másodiknak $1$ az első eleme, $n\geqq 2$-re az első $n$-edik eleme az $\left(n-1\right)$-edik elemek számtani közepe lesz, a második sorozat $n$-edik eleme az $\left(n-1\right)$-edik elemek harmonikus közepe. Bizonyítsuk be, hogy e két sorozat konvergens, és ugyanahhoz a határértékhez tart. Mennyi ez a határérték? $($Két szám, $a$, $b$ harmonikus közepe a $\frac{2ab}{a+b}$ szám.$)$